第四讲 简单函数逼近定理

2021年03月12日 实分析笔记

欧耀彬 教二2405

极限概念

• 定义1.13.（极限）

1. 设 $a_n \in [-\infty,+\infty], n \in \mathbb{N}$，令

   $$b_k = \sup_{n \ge k} a_n,\beta=\inf_{k \ge 1} b_k,$$

   其中，$b_k$ 是单调递减序列，$\beta$ 是存在的，则称 $\beta$ 为 $\{a_n\}$ 的上极限，记作

   $$\beta=\limsup_{n\rightarrow \infty} a_n.$$

2. 类似地，$\{a_n\}$ 的下极限为

   $$\alpha=\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n =\sup_{k \ge 1} \inf_{n \ge k} a_n.$$

3. 若 $f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x),\forall x \in X$ 存在，则称 $f$ 为 $f_n$ 的点态极限.

• 极限的性质：

  • $\{a_n\}$ 收敛当且仅当

    $$\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n=\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n (=\lim_{n \rightarrow \infty} a_n).$$

  • 上下极限的关系：

    $$\liminf_{n \rightarrow \infty} a_n=-\limsup_{n \rightarrow \infty}(-a_n).$$

两类函数的可测性

• 定理1.14. 若 $f_n:X \rightarrow [-\infty,+\infty]$ 可测，$\forall n \in \mathbb{N}$，则以下函数均可测：

  $$\sup_{n \ge 1}f_n,\inf_{n \ge 1}f_n,\limsup_{n \rightarrow \infty}f_n,\liminf_{n \rightarrow \infty}f_n.$$

  当 $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n$ 存在时，则它也可测.

  证：记 $g=\sup_{n \ge 1}f_n$，下面证明 $g^{-1}((\alpha,+\infty])$ 是可测集.

  注意到

  $$g^{-1}((\alpha,+\infty])=\{\sup_{n\ge 1}f_n > \alpha\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n > \alpha\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}f_n^{-1}((\alpha,+\infty]).$$

  其中，$f_n^{-1}((\alpha,+\infty]),\forall n \in N$ 是可测集.

• 定理1.14 补充证明：$\{\sup_{n\ge 1}f_n > \alpha\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n > \alpha\}.$

  证：

  对于任意 $x\in \bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n > \alpha\}$，存在 $n$ 使得 $x \in \{f_n > \alpha\}$，即存在 $n$ 满足 $f_n(x) > \alpha$，

  于是 $\sup_{n \ge 1} f_n(x) > \alpha$.

  对于任意 $x \in \{\sup_{n\ge 1}f_n > \alpha\}$，存在 $\varepsilon >0$ 使得 $\sup f_n(x) > \alpha + \varepsilon > \alpha$.

  由上确界的定义知，对于上述 $\varepsilon >0$，存在 $N$ 使得 $f_N(x) > \sup f_n(x)-\varepsilon>\alpha$.

  即 $f_n(x)> \alpha$，因此 $x \in \bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n > \alpha\}$.

• 定义：在可测空间 $X$ 上，值域由有限个点 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$（不包含 $\pm \infty$）组成的复函数被称为简单函数，即

  $$s= \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_1 \chi_{A_i},A_1=\{x \in X: s(x)=\alpha_i\}.$$

• 性质：$s$ 可测当且仅当所有 $A_i$ 是可测集.

简单函数逼近定理

• 定理1.17.（简单函数逼近正/非负可测函数）

  设 $f:X \rightarrow [0,+\infty]$ 可测，则存在 $X$ 上的简单正可测函数列 $\{s_n\}$，使得

  (a). $0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \cdots \leq f,$

  (b). $\forall x \in X, \lim_{n \rightarrow \infty} s_n(x)=f(x).$

  证：

  将区间 $[0,+\infty)$ 划分为互不相交的区间列，并表示为区间列的并，即

  $$[0,+\infty)=\bigcup_{m=0}^{\infty} [m,m+1)=\bigcup_{m=0}^{\infty} \bigcup_{j=0}^{2^n-1} [m+\frac{j}{2^n},m+\frac{j+1}{2^n}).$$

  即对于任意 $0 \leq t < \infty$，$t$ 必落在其中一个小区间，且小区间长度 $\delta_n=1/2^n$.

  则对于任意 $0 \leq t < \infty$ 和 $n \in \mathbb{N}$，存在惟一 $k=k_n(t)$ 使得

  $$k\delta_n \leq t < (k+1)\delta_n (k \leq t 2^n < k+1).$$

  定义上截断的简单函数

  $$\varphi_n(t)=\left\{\begin{array}{ll} k \delta_n, & 0 \leq t < n; \\ n, & n \leq t \leq \infty. \end{array}\right.$$

  则对于任意 $n$，$\varphi_n(t)$ 是 $[0, +\infty]$ 上的 Borel 可测函数.

  而且，$\{\varphi_{n}(t)\}$ 是递增简单正可测函数列，对于任意 $t$，数列 $\{\varphi_n(t)\}$ 满足 $0 \leq \varphi_1(t) \leq \varphi_2(t) \leq \cdots \leq t$.

  当 $0 \leq t \leq n$，有 $t-\delta_n < \varphi_n(t) \leq t$，则 $|t-\varphi_n(t)|<\delta_n, \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_n(t)=t.$

  定义 $s_n=\varphi_n \circ f$，则 $s_n$ 满足 (a) 和 (b).

  最后由定理 1.12(4) 知，$s_n$ 可测.

一般的简单函数逼近定理

• 若 $f:X \rightarrow [-\infty,+\infty]$ 可测，则存在可测简单函数列 $\{s_n\}$ 使得，$|s_n| \leq |f|$，且 $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n=f$.

  证：

  定义 $f$ 的正部和负部为$f^+,f^-$：

  $$f^+=\max\{f,0\},f^-=\max\{-f,0\}$$

  显然，$f=f^+-f^-$，且 $f^+,f^- \in [0,+\infty]$.

  由正简单函数的逼近定理知，存在正可测简单函数列 $\{s_n^{(1)}\}$ 和 $\{s_n^{(2)}\}$ 使得

  $$0 \leq s_1^{(1)} \leq s_2^{(1)} \leq \cdots \leq f^+,0 \leq s_1^{(2)} \leq s_2^{(2)} \leq \cdots \leq f^-,$$

  且

  $$\forall x \in X, \lim_{n \rightarrow \infty} s_n^{(1)}(x)=f^+(x),\lim_{n \rightarrow \infty} s_n^{(2)}(x)=f^-(x).$$

  定义新序列 $\{s_n\}$ 满足 $s_n=s_n^{(1)}-s_n^{(2)}$，显然 $\{s_n\}$ 是可测简单函数列.

  且

  $$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n=\lim_{n \rightarrow \infty} s_n^{(1)}-\lim_{n \rightarrow \infty} s_n^{(2)}=f^+-f^-=f, \\ |s_n|=|s_n^{(1)}-s_n^{(2)}|\leq |s_n^{(1)}|+|s_n^{(2)}|=s_n^{(1)}+s_n^{(2)} \leq f^++f^-=|f|.$$