第三讲 可测函数与Borel可测函数的性质

2021年03月12日 实分析笔记

欧耀彬 教二2405

可测函数的性质

• 推论1.9. 设 $X$ 是可测空间，

1. 若 $u,v:X \rightarrow \mathbb{R}^1$ 可测，$f=u+i v$，则 $f:X \rightarrow C$ 复可测.

   证：不妨令 $f=\Phi(u(x),v(x))=u(x)+iv(x)$.

   考虑 $\mathbb{R}^2$ 中收敛到 $(u,v)$ 的点列 $(u_n,v_n)$，由点列收敛等价于坐标收敛知，

   $$\lim_{(u_n,v_n) \rightarrow (u,v)} \Phi(u_n,v_n)=\lim_{u_n \rightarrow u,v_n \rightarrow v} \Phi(u_n,v_n)=\lim_{u_n \rightarrow u} u_n + i \lim_{v_n \rightarrow v} v_n=u+iv=\Phi(u,v).$$

   即， $\Phi(u,v):\mathbb{R}^2 \rightarrow C$ 是连续函数. （或 $\Phi(z)=z$ 连续.）

   再由定理1.8知，$f$ 复可测.

2. 若 $f=u+iv$ 在 $X$ 上复可测，则 $u,v,|f|$ 在 $X$ 上实可测.

   证：注意到 $g= \operatorname{Re}(z),\operatorname{Im}(z),|z|=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2},z \in C$ 均为连续函数.

   由定理1.7(b)知，可测函数与连续函数复合是可测函数，得证.

3. 若 $f,g$ 在 $X$ 上复可测，则 $f+g,fg$ 复可测.

   证：令 $f=u_1+iv_1,g=u_2+iv_2$，则

   $$f+g=(u_1+u_2)+i(v_1+v_2),fg=(u_1u_2-v_1v_2)+i(u_1 v_2+u_2v_1).$$

   由上述推论1、2知，$f+g,fg$ 可测.

4. 若 $E \subset X$ 可测，

   $$\chi_E=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in E; \\ 0, & x \not \in E. \end{array}\right.$$

   其中，$\chi_E$ 为 $E$ 上的特征函数，则 $\chi_E$ 可测.

   证：考虑 $Y=\{0,1\}$ 中的开集的原像

   $$\chi^{-1}_E(\varnothing)=\varnothing,\chi^{-1}_E(Y)=X,\chi^{-1}_E(\{1\})=E,\chi^{-1}_E(\{0\})=X \setminus E$$

   均为可测集.

5. 若 $f$ 在 $X$ 上复可测，则存在 $X$ 上的复可测函数 $\alpha,|\alpha|=1$，且 $f=\alpha |f|$.

   注：$\alpha$ 表示 $f$ 的方向，$|f|$ 表示 $f$ 的大小.

   证：不妨令

   $$\alpha=\left\{\begin{array}{ll} \frac{f}{|f|}, & f(x) \neq 0; \\ 1, & f(x)=0. \end{array}\right.$$

   其中，记 $E=\{x \in X:f(x)=0\}$.

   下面只需证 $\alpha$ 可测.

   构造 $\varphi(z)=\frac{z}{|z|},z=f(x)+\chi_E(x), \forall x \in X$.

   不难发现 $\alpha(x) = \varphi(f(z)+\chi_E(x))$ 且 $z \neq 0$.

   当 $z \neq 0$ 时，$\varphi(z)$ 连续，由定理 1.7(b)，下面只要验证 $f(x)+\chi_E(x)$ 可测.

   其中，$f(x)$ 可测是已知条件，也即只要证明 $E$ 是可测集.

   注意到，复平面上的 $0$ 可以由开矩形逼近，即

   $$E=f^{-1}(0)=f^{-1}(\{0,0\})=f^{-1}(\bigcap_{n=1}^{\infty} D_n)=\bigcap_{n=1}^{\infty}f^{-1}(D_n).$$

   其中，

   $$D_n=\{(x,y):-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n},-\frac{1}{n}<y<\frac{1}{n}\}.$$

   注意到，$f^{-1}(D_n)$ 对于每个 $n$ 都是可测集，而 $\sigma$ 代数对可列交封闭，因此 $E$ 也是可测集.

Borel集

• 定理1.10. 若 $\mathscr{F}$ 为 $X$ 的任意子集族，则 $X$ 内存在一个最小的 $\sigma$ 代数 $M^*$，使得 $\mathscr{F} \subset M^*$.

  证：

  令 $\Omega$ 是包含 $\mathscr{F}$ 的 $\sigma$ 代数 $M$ 全体的集合.

  显然，$\Omega$ 非空，至少 $X$ 的全体子集构成的子集族是包含 $\mathscr{F}$ 的 $\sigma$ 代数.

  即 $\mathscr{F} \subset P(X)$，其中 $P(X)$ 是 $X$ 的幂集.

  而且 $M^*=\bigcap_{M\in \Omega} M$ 包含 $\mathscr{F}$，下面证明 $\bigcap_{M\in \Omega} M$ 是一个 $\sigma$ 代数.

  第一，对于任意 $M$，$X \in M$，则 $X \in M^*$.

  第二，若 $A \in M^*$，则对于任意 $M$，$A \in M$. 由 $M$ 是 $\sigma$ 代数知，$A^c \in M, \forall M$，因此 $A^c \in M^*$.

  第三，若 $A_n \in M^*, \forall b \in \mathbb{N^+}$，则 $A_n \in M,\forall M, \forall b \in \mathbb{N^+}$，于是$A_n \in M^*,\forall b \in \mathbb{N^+}$，因此 $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in M^*$.

• 定义1.11. 设 $X$ 是拓扑空间，则 $X$ 内存在一个最小的 $\sigma$ 代数 $\beta$，满足 $X$ 内的任一开集均属于 $\beta$.

  则 $\beta$ 被称为 Borel $\sigma$ 代数，而 $\beta$ 的元素为 Borel 可测集.

  • $(X,\beta)$ 是可测空间.
  • $(X,\beta)$ 上的每一个连续映射 $f:X \rightarrow Y$ 都是可测函数. 因为对于任意开集 $V \subset Y$，原像 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集，而且属于 $\beta$.

Borel可测函数

• 若 $X$ 为 Borel 可测空间，$Y$ 是拓扑空间，映射 $f:X \rightarrow Y$ 满足对于任意开集 $V \subset Y$，都有 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的 Borel 可测集，则称 $f$ 是 Borel 可测函数，简称 Borel 函数.
• 定理 1.12. （Borel 函数的性质）记 $X$ 为可测空间，$M$ 是 $X$ 上 $\sigma$ 代数，$Y$ 是拓扑空间，映射 $f:X \rightarrow Y$.

1. 若集族

   $$\Omega=\{E \subset Y: f^{-1}(E) \in M\},$$

   则 $\Omega$ 为 $Y$ 内的 $\sigma$ 代数.

   证：第一，$Y \in \Omega$，因为 $f^{-1}(Y)=X \in M$.

   第二，若 $A \in \Omega$，则 $f^{-1}(A) \in M,X\setminus f^{-1}(A) \in M$，即 $f^{-1}(Y \setminus A) \in M$，即 $A^c \in \Omega$.

   第三，

   $$A_n \in \Omega, \forall n \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow f^{-1}(A_n) \in M ,\forall n \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}(A_n)=f^{-1}(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) \in M \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \Omega.$$

2. 若 $f$ 可测，且 $E$ 为 $Y$ 内 Borel 集，则 $f^{-1}(E) \in M$.（延伸可测函数的概念）

   证：对于任意开集 $V \subset Y$，由 $f$ 可测知，$f^{-1}(V)$ 为 $X$ 内的可测集，即 $f^{-1}(V) \in M$.

   由定理1.12的结论1知，$V \in \Omega$，其中 $\Omega$ 为包含 $V$ 的 $\sigma$ 代数.

   由于 $V$ 的选取是任意的，记 $\beta$ 为包含 $Y$ 内任意开集的最小 $\sigma$ 代数，即 Borel $\sigma$ 代数，则 $E \in \beta \subset \Omega$.

   再由 $\Omega$ 的定义知，$f^{-1}(E) \in M$.

3. （实函数可测性的判别准则）

   若 $Y=[-\infty,+\infty]$，且 $\forall \alpha \in \mathbb{R}, f^{-1}((\alpha,+\infty]) \in M$，则 $f$ 可测.

   证：令结论1中的 $Y$ 为广义实数集 $[-\infty,+\infty]$，则

   $$\Omega=\{E \subset [-\infty,+\infty]: f^{-1}(E) \in M\}$$

   是 $\sigma$ 代数.

   要证 $f$ 可测，即要证对于 $[-\infty,+\infty]$ 中的任意开子集 $O$，有 $f^{-1}(O) \in M$.

   等价于要证明 $O \in \Omega$，其中 $O$ 是常规定义下的开集.

   由于 $O$ 可以写成可数开区间的并，故只要证明，任意开区间 $(a,b)=[-\infty,a) \cap (b,+\infty] \in \Omega$.

   即要证，对于任意 $a,b$，有

   $$(a,+\infty] \in \Omega,[-\infty,b) \in \Omega.$$

   前者成立是已知条件，后者也成立，注意到

   $$[-\infty,b)=([b,+\infty])^c=(\bigcap_{n=1}^{\infty}(b-1/n,+\infty])^c.$$

4. 若 $f$ 可测，$Z$ 是拓扑空间，$g:Y \rightarrow Z$ 是 Borel 函数，且 $h=g \circ f$，则 $h:X \rightarrow Z$ 可测.

   证：对于任意开集 $V \subset Z$，$g^{-1}(V)$ 是 $Y$ 中的 Borel 集，则 $f^{-1}(g^{-1}(V))$ 是 $X$ 中的可测集，即 $h^{-1}(V)$ 是可测集.