第二十四讲 全变差与绝对连续性的相关定义

2021年05月21日 实分析笔记

欧耀彬 教二2405

全变差的相关定义

• 定义6.1. 设 $M$ 是 $X$ 上的 $\sigma$ 代数.

  （1）可数集族 $\{E_i\}$ 称为 $E$ 的一个划分，若 $E=\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i$，其中

  $$E\in M,E_i \in M, E_i \cap_{i \neq j} E_j = \varnothing.$$

  （2）$M$ 上的复测度 $\mu$ 是 $M$ 上的一个复函数（有限），满足

  $$\mu(E) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(E_i), E \in M,$$

  对 $E$ 的每一个划分都成立，且上式右边的级数收敛.

  （3）$|\mu|$ 称为复测度 $\mu$ 的全变差（测度），定义为

  $$|\mu|(E)= \sup_{\text{each partion}\, \{E_i\}\, \text{for}\, E} \sum_{i=1}^{\infty} |\mu(E_i)|.$$

• 定义6.5. $\mu,\lambda$ 是复测度，定义

  $$(\mu+\lambda)(E) = \mu(E)+\lambda(E), E \in M. \\ (c\mu)(E)=c \mu(E), c \in \C, E \in M.$$

  其中，$\mu+\lambda, c\mu$ 均为复测度.

  若令 $\|\mu\|=|\mu|(X)$，则 $M$ 上的复测度族，在范数 $\|\cdot\|$ 构成赋范线性空间（满足非负性、正齐次性和三角不等式）.

• 定义6.6. 对于实测度 $\mu$（符号测度），定义 $\mu$ 的正变差 $\mu^+$ 和负变差 $\mu^-$ 为

  $$\mu^+=\frac{1}{2}(|\mu|+\mu),\mu^-=\frac{1}{2}(|\mu|-\mu).$$

  则

  $$\mu=\mu^+-\mu^-,$$

  其中，$\mu^+,\mu^-$ 均为 $M$ 上的正测度且有界，上述分解被称为Jordan分解.

  此外，

  $$|\mu|=\mu^+ + \mu^-.$$

•  

全变差的相关性质

• 性质一：若 $\mu$ 为正测度，则 $|\mu|=\mu$.

• 性质二：$|\mu|(X)<\infty$.（定理6.4）

• 性质三：复测度 $\mu$ 是有界的，对于任意 $E \in M$，有

  $$|\mu(E)| \leq |\mu|(E) \leq |\mu|(X).$$

  （$|\mu|$ 是正测度.）

• 定理6.2. 复测度 $\mu$ 的全变差 $|\mu|$ 为正测度.

  证：注意到 $|\mu| \ge 0$，即为非负函数，且 $|\mu|(\varnothing)=0$. 下面只要证明 $|\mu|$ 是可数可加的.

  即要证，对于任意 $E \in M$，设 $\{E_i\}$ 为 $E$ 的任一划分，即 $E = \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i$，$E_i \cap_{i\neq j} E_j =\varnothing$.

  则

  $$|\mu|(E)=\sum_{i=1}^{\infty} |\mu|(E_i).$$

  （1）先证 $\sum_{i=1}^{\infty} |\mu|(E_i) \leq |\mu|(E)$.

  即要证明，对于任意 $\varepsilon > 0$，

  $$\sum_{i=1}^{\infty} |\mu|(E_i) \leq |\mu|(E)+\varepsilon.$$

  固定 $i$，存在 $E_i$ 的一个划分 $\{A_{ij}\}_{j=1}^{\infty}$，满足

  $$|\mu|(E_i) < \sum_{j=1}^{\infty} |\mu(A_{ij})|+\frac{\varepsilon}{2^i}.$$

  而 $\{A_{ij}\}_{i,j=1}^{\infty}$ 为 $E$ 的一个划分，则

  $$\sum_{i,j=1}^{\infty} |\mu(A_{ij})| \leq |\mu|(E).$$

  则

  $$\sum_{i=1}^{\infty} |\mu|(E_i)<\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} |\mu(A_{ij})|+\varepsilon \leq |\mu|(E)+\varepsilon.$$

  （2）再证 $|\mu|(E) \leq \sum_{i=1}^{\infty} |\mu|(E_i)$.

  设 $\{A_j\}$ 为 $E$ 的任意任一划分，则 $\{A_j \cap E_i\}_{j=1}^{\infty}$ 为 $E_i$ 的一个划分，$\{A_j \cap E_i\}_{i=1}^{\infty}$ 为 $A_j$ 的一个划分.

  于是，

  $$|\mu|(E) = \sup \sum_{j=1}^{\infty} |\mu(A_j)|=\sup \sum_{j} |\sum_i \mu(A_j\cap E_i)| \leq \sup \sum_{j}\sum_{i} |\mu(A_j\cap E_i)| \\ = \sup \sum_{i}\left(\sum_{j} |\mu(A_j\cap E_i)| \right) \leq \sum_{i} \sup \left(\sum_{j} |\mu(A_j\cap E_i)| \right) =\sum_{i=1}^{\infty} |\mu|(E_i).$$

• 引理6.3. 若 $z_1,z_2,\cdots,z_N$ 是复数，则存在 $S \subset \{1,2,\cdots,N\}$，满足

  $$|\sum_{k \in S} z_k| \ge \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{N} |z_k|.$$

  证：记 $z_k=|z_k|e^{i \alpha_k}$，其中 $e^{i \alpha_k}=\cos \alpha_k \theta + i\sin \alpha_k \theta$.

  设

  $$S(\theta)=\{k| 1 \leq k \leq N, \cos (\alpha_k-\theta)>0, \theta \in [-\pi,\pi]\}.$$

  即顺时针旋转 $\theta$ 角之后实部非负的 $z_k$ 的下标集.

  于是，

  $$|\sum_{k \in S(\theta)} z_k| = |\sum_{k \in S(\theta)} e^{-i \theta} z_k| \ge \operatorname{Re}\left(\sum_{k \in S(\theta)} e^{-i \theta} z_k \right)= \operatorname{Re}\left(\sum_{k \in S(\theta)} |z_k|e^{i(\alpha_k-\theta)} \right) \\ = \sum_{k \in S(\theta)} |z_k| \cos (\alpha_k - \theta) = \sum_{k=1}^N |z_k| \cos ((\alpha_k - \theta))^+.$$

  在 $\theta \in [-\pi,\pi]$ 上，不妨设当 $\theta=\theta_0$ 时，上式右边达到最大.

  令 $S=S(\theta_0)$，则

  $$|\sum_{k \in S} z_k| \ge \sum_{k=1}^N |z_k| (\cos (\alpha_k - \theta))^+ \ge \sum_{k=1}^N |z_k|\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\cos (\alpha_k - \theta))^+ \, d\theta=\frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^N |z_k|.$$

• 定理6.4. 若 $\mu$ 是 $X$ 上的复测度，则 $|\mu|(X)<\infty$.

  证：反证法. 假设 $|\mu|(X) = \infty$.

  （1）设存在 $E \in M$，使得 $|\mu|(E)=\infty$.

  下面证明存在分解 $E=A \cup B$，使得 $A \cap B =\varnothing, |\mu(A)|>1, |\mu(B)|>1$，且

  $|\mu|(A)$ 和 $|\mu|(B)$ 中至少有一个为 $\infty$.

   

  存在 $E$ 的划分 $\{E_i\}$ 及 $N \in \N$，使得

  $$\sum_{i=1}^N |\mu(E_i)| > t.$$

  令 $z_i=\mu(E_i) \in \C, i =1,\cdots,N$，

  令 $A = \bigcup_{i \in S} E_i, t > \pi$，由引理6.3知，存在 $S \subset \{1,\cdots,N\}$，使得

  $$\mu(A)=\mu(\bigcup_{i \in S}E_i)=|\sum_{k \in S} z_k| \ge \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{N} |z_k| > \frac{t}{\pi}>1.$$

  令 $B=E-A$，

  则

  $$|\mu(B)|=|\mu(E)-\mu(A)| \ge |\mu(A)|-|\mu(E)| > \frac{t}{\pi} - |\mu(E)|=1.$$

  其中，具体地，令 $t=\pi(1+|\mu(E)|)$.

  由 $|\mu|$ 的可数可加性知，

  $$\infty=|\mu|(E)=|\mu|(A)+|\mu|(B),$$

  则 $|\mu|(A),|\mu|(B)$ 中至少有一个为 $\infty$.

  （2） 分解 $X =A_1 \cup B_1, A_1 \cap B_1=\varnothing, |\mu(A_1)| > 1, |\mu|(B_1) = \infty$.

  再分解 $B_1 = A_2 \cup B_2, A_2 \cap B_2 = \varnothing, |\mu(A_2)| > 1, |\mu|(B_2) = \infty$.

  依次类推.

  最终有集合列 $\{A_i\}_{i=1}^{\infty}, \mu(A_i) > 1, A_i \cap_{i \neq j} A_j = \varnothing$.

  则

  $$\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) \in \C.$$

  上述级数收敛，与 $\mu(A_i)$ 不趋近于0矛盾.

绝对连续性的相关定义

• 定义6.7. 设 $\mu$ 为 $M$ 上的正测度，$\lambda$ 为 $M$ 上的正/复测度.

  (1) $\lambda \ll \mu$（$\lambda$ 关于 $\mu$ 绝对连续）：

  对于任意 $E \in M$，若 $\mu(E) = 0 \Rightarrow \lambda(E)=0$.

  (2) $\lambda$ 集中于 $A$ 上：

  存在 $A \in M$，使得对于任意 $E \in M$，有 $\lambda(E)=\lambda(A \cap E)$.

  当且仅当，存在 $A \in M$，使得对于任意 $E \in M$，满足 $E \cap A=\varnothing$ 时，有 $\lambda(E)=0$.

  证：

  $\Rightarrow$ 显然，$\lambda(\varnothing)=0$.

  $\Leftarrow$ 注意到

  $$(E-(A\cap E)) \cap A=\varnothing.$$

  则

  $$\lambda(E-(A\cap E))=0.$$

  于是

  $$\lambda(E)=\lambda(A\cap E) + \lambda (E-(A \cap E))=\lambda(A\cap E).$$

  (3) 若 $\lambda_1$ 集中于 $A$ 上，$\lambda_2$ 集中于 $B$ 上，$A \cap B=\varnothing$，则称 $\lambda_1,\lambda_2$ 相互奇异，记作 $\lambda_1 \perp \lambda_2$.