第十九讲 Borel测度的正则性

2021年05月07日 实分析笔记

欧耀彬 教二2405

基本定义：Borel测度、正则性、$\sigma$-紧集和 $\sigma$-有限测度

• 定义于局部紧的Hausdorff空间 $X$ 的全体Borel集组成的 $\sigma$-代数 $M$ 上的测度 $\mu$，称为 $X$ 上的Borel测度.

  事实上，Riesz表示定理中所定义的测度 $\mu$ 即为一个Borel测度.

• Borel集 $E$ 称为外正则的，若 $\mu$ 是正测度，且 $E$ 满足

  $$\mu(E)=\inf \{\mu(V): E \subset V, V \ \text{open}\}.$$

• Borel集 $E$ 称为内正则的，若 $\mu$ 是正测度，且 $E$ 满足

  $$\mu(E)=\sup \{\mu(K): K \subset E, K \ \text{compact}\}.$$

• 测度 $\mu$ 称为正则的，若对于任意Borel集 $E$，$E$ 既是外正则的，又是内正则的.

  即，Borel集 $E$ 的大小在测度 $\mu$ 的意义下，既可以从外部逼近，又可以从内部逼近.

注：Riesz表示定理中，对所有集合（不限于Borel集）构造了外正则性，但只对开集和有限测度的集合构造了内正则性.

• 对于开集 $V$，

  $$\mu(V)=\sup \{\Lambda f: f \prec V\}.$$

  取 $K \subset V$ 紧，$f=\chi_E \prec V$，则

  $$\mu(V)=\sup \{\mu(K): K \subset V, K \ \text{compact}\}.$$

• 对于满足 $\mu(E)<\infty$ 的集合 $E$，

  $$\mu(E)=\sup \{\mu(K): K \subset E, K \ \text{compact}\}.$$

• 拓扑空间中的集合 $E$ 被称为 $\sigma$-紧的，若 $E$ 是紧集的可数并.

  例如，$\R^1$ 不是紧集，但是 $\sigma$-紧的，因为

  $$\R^1 = \bigcup_{k \in \Z^+} [-k,k].$$

• 若 $E=\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i$，且 $\mu(E_i)<\infty$，则称 $E$ 有 $\sigma$-有限测度.

  在Riesz表示定理中所有紧集的测度都是有限的，因此Riesz表示定理的 $\sigma$-紧集有 $\sigma$-有限测度.

Borel测度的正则性

• 定理2.17. $X$ 是局部紧、$\sigma$-紧的Hausdorff空间，若 $M,\mu$ 由Riesz表示定理给出，则

  (a) 若 $E \in M$，则对于任意 $\varepsilon >0$，存在闭集 $F$ 和开集 $V$，满足

  $$F \subset E \subset V, \mu(V-F)<\varepsilon.$$

  注意到，在Riesz表示定理证明的步骤V中，只针对 $M_F$，即 $M$ 中大小有限的集合. 且 $F$ 是紧集，而不是闭集.

  (b) $\mu$ 是正则的Borel测度.

  (c) 若 $E\in M$，则存在 $F_{\sigma}$ 集 $A$，$G_{\delta}$ 集 $B$，满足

  $$A \subset E \subset B,\mu(B-A)=0.$$

  其中， $F_{\sigma}$ 集是可数个闭集的并，$G_{\delta}$ 集是可数个开集的交.

• 证明定理2.17(a).

  证：

  第一部分：先证明存在开集 $V \supset E$，使得

  $$\mu(V-E) < \frac{\varepsilon}{2}.$$

  $X$ 是 $\sigma$-紧的，不妨设 $X=\bigcup_{n=1}^{\infty} K_n$，其中 $K_n$ 是紧集.

  由于 $x \in M$，则 $K_n \cap E \in M_F$.

  再由Riesz表示定理证明的步骤V知，存在开集 $V_n \supset (K_n \cap E)$，使得

  $$\mu(V_n - (K_n \cap E)) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}.$$

  令 $V=\bigcup_{n=1}^{\infty} V_n$，则

  $$\mu(V-E) = \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} (V_n-E)) \leq \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} (V_n-(K_n \cap E)) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu((V_n-(K_n \cap E)) < \frac{\varepsilon}{2}.$$

  第二部分：再证明存在闭集 $F \subset E$，使得

  $$\mu(E-F)<\frac{\varepsilon}{2}.$$

  对于任意 $E^c$，由证明的第一部分知，存在开集 $W \supset E^c$，且

  $$\mu(W-E^c)<\frac{\varepsilon}{2}.$$

  定义闭集 $F=W^c$，则由 $E^c \subset W=F^c$ 可知 $F \subset E$，且

  $$E-F=E\cap F^c=E \cap W=W \cap (E^c)^c=W-E^c.$$

  则

  $$\mu(E-F)=\mu(W-E^c)<\frac{\varepsilon}{2}.$$

  综上，

  $$\mu(V-F)=\mu(V-E)+\mu(E-F)M<\varepsilon.$$

• 证明定理2.17(b).

  证：只要证明Borel集 $E$ 是内正则的.

  情形一：若 $\mu(E) < \infty$，则 $E \in M_F$.

  由Riesz表示定理的证明步骤V知，成立.

  情形二：若 $\mu(E)=\infty$，则由 (a) 知，对于任意 $\varepsilon>0$，存在闭集 $F \subset E$，使得

  $$\mu(E-F)<\frac{\varepsilon}{2}.$$

  则 $\mu(F)=\infty$.

  不妨设 $X=\bigcup_{n=1}^{\infty} K_n$，其中 $K_n$ 是紧集，则

  $$F = \bigcup_{n=1}^{\infty} (F \cap K_n),$$

  其中，$F \cap K_n$ 是紧集，则 $F$ 是 $\sigma$-紧的.

  令 $A_n=\bigcup_{i=1}^n (F\cap K_i)$，则

  $$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset F.$$

  因此，$n \rightarrow \infty$ 时，$\mu(A_n)$ 渐升收敛于 $\mu(F)$，即

  $$\sup\{\mu(A_n)\}=\infty=\mu(F)=\mu(E).$$

• 证明定理2.17(c).

  证：由 (a)，取 $\varepsilon=1/j, j \in \N^+$，存在闭集 $F_j$ 和开集 $V_j$，满足

  $$F_j \subset E \subset V_j, \mu(V_j-F_j) < 1/j.$$

  令 $A = \bigcup_{j=1}^{\infty} F_j$，$B=\bigcap_{j=1}^{\infty} V_j$，则 $A$ 为 $F_{\sigma}$ 集， $B$ 为 $G_{\delta}$ 集.

  且

  $$B-A \subset V_j - F_j.$$

  因此，

  $$\mu(B-A) \leq \mu(V_j - F_j) < 1/j \rightarrow 0, j \rightarrow \infty.$$

• 定理2.18. 设 $X$ 是局部紧的Hausdorff空间，它的每个开集都是 $\sigma$-紧的. $\lambda$ 是 $X$ 上任意的正Borel测度，且对于任意紧集 $K$，有 $\lambda(K)<\infty$，则 $\lambda$ 为正则的.

  开集也包括 $X$，因此 $X$ 也是 $\sigma$-紧的，即相对于定理2.17条件更强. 对于任意紧集 $K$，有 $\lambda(K)<\infty$ 的条件在Riesz表示定理中也有.

  证：

  对于任意 $f \in C_c(X)$，令 $\Lambda f = \int_X f \, d\lambda$.

  因为对于任意紧集 $K$，有 $\lambda(K)<\infty$.

  对于任意 $0 \leq f < \infty$，$f \in C_c(X)$，则 $\operatorname{supp}f$ 是紧集，于是 $0 \leq \Lambda f < \infty$.

  所以，$\Lambda f$ 是 $C_c(X)$ 上的正线性泛函.

  由Riesz表示定理和 $X$ 是 $\sigma$-紧的知，存在正则的Borel测度 $\mu$，满足

  $$\Lambda f=\int_X f \, d\mu, \forall f \in C_c(X).$$

  下面只需证明 $\lambda=\mu$，即对于任意Borel集 $E$，有 $\lambda(E)=\mu(E)$.

  （1）先证对于任意开集，有 $\mu(V)=\lambda(V)$.

  注意到，对于 $f_n \in C_c(X)$，有

  $$\int_X f_n \, d\mu = \Lambda f = \int_X f_n \, d\lambda.$$

  由于开集 $V$ 是 $\sigma$-紧的，不妨令

  $$V=\bigcup_{i=1}^{\infty} K_i,$$

  其中，$K_i$ 是紧集.

  对紧集 $K_i$ 和开集 $V$ 用Urysohn引理知，存在 $f_i \in C_c(X)$，使得

  $$K_i \prec f_i \prec V.$$

  令

  $$g_n=\max \{f_1,\cdots, f_n\} \in C_c(X).$$

  则 $0 \leq g_n \leq 1$，且对于任意 $x \in X$，

  $$g_n(x) \rightarrow X_V(x), n \rightarrow \infty.$$

  由正可测函数列的单调收敛定理知，

  $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X g_n \, d\lambda = \int_X \chi_{V} \, d\lambda=\lambda(V).$$

  其中，

  $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X g_n \, d\lambda=\lim_{n \rightarrow \infty} \Lambda g_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_X g_n \, d\mu=\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X \chi_V \, d\mu=\mu(V).$$

  （2）再证明对于任意Borel集 $E$，有 $\mu(E)=\lambda(E)$.

  由定理2.17知，对于任意 $\varepsilon>0$，存在闭集 $F$ 和开集 $V$，满足 $F \subset E \subset V$，且 $\mu(V-F)<\varepsilon$.

  其中，$V-F$ 也是开集，于是也有 $\lambda(V-F)<\varepsilon$.

  一方面，

  $$\mu(E) \leq \mu(V) = \lambda(V) \leq \lambda(E)+\lambda(V-E) \leq \lambda(E)+\lambda(V-F) < \lambda(E)+\varepsilon.$$

  另一方面，

  $$\lambda(E) \leq \lambda(V) = \mu(V) \leq \mu(E)+\mu(V-E) \leq \mu(E)+\mu(V-F) < \mu(E)+\varepsilon.$$

  注意到，$\varepsilon$ 是任意的，因此 $\mu(E)\leq \lambda(E),\lambda(E)\leq \mu(E)$.