第十四讲 点集拓扑：Urysohn引理和单位分解定理

2021年04月16日 实分析笔记

欧耀彬 教二2405

Urysohn引理

• 定义2.11.（从属于 $\prec$）

  • $K \prec f$ 的定义：

    $K \subset X$ 是紧集，$f \in C_c(X)$，$f(x) \in [0,1]$，且对于任意 $x \in K$，$f(x)=1$.

  • $f \prec V$ 的定义：

    $V$ 是开集，$f \in C_c(X)$，$f(x) \in [0,1]$，且 $\operatorname{supp}f\subset V$.

  • $K \prec f \prec V$ 的定义：$K \prec f$ 且 $f \prec V$.

• 定理2.12.（Urysohn引理）

  设 $X$ 是局部紧的Hausdorff空间，$K$ 是紧集，$V$ 是开集，且 $K \subset V \subset X$，则存在 $f \in C_c(X)$，满足 $K \prec f \prec V$.

  分析：Urysohn引理说明存在一个连续函数，其支集在一个开集中、在开集的某个紧子集上恒为常数.

  $K \prec f \prec V \Rightarrow \chi_K(x) \leq f(x) \leq \chi_V(x)$，由于Hausdorff空间的紧集是闭紧，

  于是，其中的 $\chi_K(x)$ 是上半连续的，$\chi_V(x)$ 是下半连续的.

  证明思路：构造下半连续函数 $f$ 和上半连续函数 $g$，再证明 $f=g$.

• Urysohn引理证明一：构造开集族（有理数作为下标，下标大的集合含于下标小的集合）

  令 $[0,1]$ 中的有理数集为 $\{r_n\}_{n \in \N}$，其中

  $$r_1=0,r_2=1,r_3=1/2,r_4=1/3,r_5=2/3,r_6=1/4,r_7=3/4, \cdots.$$

  由于 $X$ 是局部紧的Hausdorff空间，对于紧集 $K$，开集 $V$，且 $K \subset V \subset X$，

  存在开集 $V_0$ 使得 $\bar{V}_0$ 是紧集，且

  $$K \subset V_0 \subset \bar{V}_0 \subset V.$$

  其中，$V_0=V_{r_1}$.

  对于紧集 $K$，开集 $V_0$，也存在开集 $V_1=V_{r_2}$ 使得 $\bar{V}_1$ 是紧集，且

  $$K \subset V_1 \subset \bar{V}_1 \subset V_0.$$

  对于 $n \ge 2$，若 $V_{r_1},\cdots,V_{r_n}$ 已选好，且满足 $r_i <r_j$ 时，$\bar{V}_{r_i} \subset V_{r_j}$.

  现构造 $V_{r_{n+1}}$，令

  $$r_{l}=\max\{r_i: i =1,2,3,\cdots, r_i < r_{n+1}\},r_{m}=\min\{r_i: i =1,2,3,\cdots, r_i > r_{n+1}\}.$$

  则 $r_1 < r_{n+1} < r_m$.

  对于 $\bar{V}_{r_m},V_{r_l}$，存在 $V_{r_{n+1}}$ 使得

  $$\bar{V}_{r_m}\subset V_{r_{n+1}} \subset \bar{V}_{r_{n+1}} \subset V_{r_l}.$$

  由数学归纳法知，可找到开集族 $\{V_r\}$，满足：

  对于 $[0,1]$ 中的任意有理数 $r,s$，有

  $$K \subset V_r \subset \bar{V}_r \subset V,$$

  其中 $\bar{V}_r$ 是紧集.

  且当 $r<s$ 时，有 $\bar{V}_s \subset V_r$.

• Urysohn引理证明二：构造上下半连续函数 $f,g$.

  对于任意 $r,s \in \Q \cap [0,1]$，定义下半连续函数

  $$f_r(x)=\left\{\begin{array}{ll} r, & x \in V_r; \\ 0, & x \not \in V_r. \end{array}\right.$$

  和上半连续函数

  $$g_s(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in \bar{V}_s; \\ s, & x \not \in \bar{V}_s. \end{array}\right.$$

  则 $f=\sup_r f_r(x)$ 下半连续，$g=\inf_{s} g_s(x)$ 上半连续.

• Urysohn引理证明三：函数 $f=g$.

  （1）证明 $f \leq g$.

  若 $s \ge r$，$f_r(x) \leq g_s(x)$ 对于任意 $x$ 成立，则 $f \leq g$ 显然成立.

  若 $s<r$，则 $\bar{V}_r \subset V_s$，从而 $V_r \subset \bar{V}_s$.

  注意到，$x \in V_r \subset \bar{V}_s$ 时，$f_r(x)=r<1=g_s(x)$.

  $x \in X - \bar{V}_s$ 时，$f_r(x)=0 \leq s =g_s(x)$.

  $x \in \bar{V}_s-V_r$ 时，$f_r(x)=0 \leq 1 =g_s(x)$.

  （2）反证法. 假设对于某个 $x$，$f(x)<g(x)$.

  则存在有理数 $R,S \in (0,1)$ 使得 $f(x)<R<S<g(x)$.

  由于 $f(x)=\sup_{r}f_r(x)<R$，则对于任意 $r$，$f_r(x)<R$. 取 $r=R$ 可知，$x \not\in V_R$.

  由于 $g(x)=\inf_{s}g_s(x)>S$，则对于任意 $s$，$f_s(x)>S$. 取 $s=S$ 可知，$x\in \bar{V}_S$.

  而由 $R < S$ 知，$\bar{V}_S \subset V_R$，矛盾.

   

  因此，由（1）和（2）知，$f=g$.

• Urysohn引理证明四：证明存在 $f \in C_c(X)$，满足 $K \prec f \prec V$.

  由于 $f=g$，则 $f$ 既下半连续，又上半连续，即 $f$ 连续.

  而 $f$ 的支集

  $$\operatorname{supp} f= \overline{\{f \neq 0\}}=\overline{\{\sup_r f_r \neq 0\}}=\overline{\{\sup_r f_r > 0\}}=\bigcup_{r} \overline{\{f_r(x)>0\}}=\bigcup_{r} \bar{V}_r \subset \bar{V}_0.$$

  其中，$\bar{V}_0$ 为紧集，其闭子集 $\operatorname{supp} f$ 也是紧集.（事实上，$\operatorname{supp} f=\bar{V}_0$）

  因此，$f \in C_c(X).$

  当 $x \in K$，其中 $K \subset V_r, \forall r \in \Q \cap [0,1]$ 时，$f(x)=\sup_{r} r=1$.

  于是，$K \prec f$.

  而 $\operatorname{supp} f\subset \bar{V}_0 \subset V$，即 $f \prec V$.

  因此，$K \prec f \prec V$.

单位分解定理

• 定理2.13（单位分解定理，即紧集 $K$ 上单位函数的分解）

  设 $X$ 是局部紧的Hausdorff空间，开集 $V_1,\cdots,V_n \subset X$，$K$ 是紧集，且 $K \subset V_1 \cup \cdots \cup V_n$，则存在 $h_i \prec V_i, i =1,2,\cdots, n$，满足

  $$h_1(x)+\cdots+h_n(x)=1, x \in K.$$

  $\{h_1,\cdots,h_n\}$ 被称为在 $K$ 上从属于 $\{V_1,\cdots,V_n\}$ 的单位分解.

• 单位分解定理证明一：区域剖分

  由于 $X$ 是局部紧的，则对于任意 $x \in K$，存在邻域 $W_x$，使得 $\overline{W}_x$ 是紧集.

  且由于 $K \subset V_1 \cup \cdots \cup V_n$，则对于某个 $i$，$\overline{W}_x \subset V_i$.

  于是，$\{W_x\}_{x \in K}$ 为 $K$ 的开覆盖，由于 $K$ 是紧集，则存在 $x_1,\cdots,x_m$，使得

  $$K \subset W_{x_1} \cup \cdots \cup W_{x_m}.$$

  且 $\overline{W}_{x_i}$ 是紧集.

• 单位分解定理证明二：构造 $h_i$

  对于 $1\leq i \leq n$，令

  $$H_i = \bigcup_{j, \overline{W}_{x_j} \subset V_i} \overline{W}_{x_j}.$$

  则 $H_i \subset V_i$，且 $H_i$ 是紧集，$V_i$ 是开集.

  对 $H_i,V_i$ 用Urysohn引理，则存在 $g_i \in C_c(X)$，满足 $H_i \prec g_i \prec V_i$.

  定义 $h_1=g_1$，$h_2=(1-g_1)g_2$.

  则

  $$h_1+h_2=1-(1-g_1)(1-g_2).$$

  当 $x \in H_1$ 时，$g_1=1$，则 $h_1+h_2=1$.

  当 $x \in H_2-H_1$ 时，$g_2=1$，则 $h_1+h_2=1$.

  即 $x \in H_1 \cup H_2$ 时，$h_1+h_2=1$.

  依此类推，

  $$h_n=(1-g_1)(1-g_2)\cdots (1-g_{n-1})g_n.$$

  且

  $$x \in \bigcup_{i=1}^n H_i \supset K, \sum_{i=1}^n h_i(x)=1.$$

• 单位分解定理证明三：证明 $h_i \prec V_i, i =1,2,\cdots, n$，且 $h_1(x)+\cdots+h_n(x)=1, x \in K.$

  （一）显然 $h_i \in [0,1]$ 连续. 且注意到

  $$\operatorname{supp} h_i \subset \operatorname{supp} g_i \subset V_i.$$

  因此，$h_i \prec V_i$.

  （二）用归纳法证明

  $$\sum_{i=1}^n h_i = 1-(1-g_1)(1-g_2)\cdots (1-g_n).$$

  当 $n=2$ 时，前面已证明是成立的.

  假设 $n=N$ 时成立，则

  $$\sum_{i=1}^{N+1} h_i = 1-(1-g_1)(1-g_2)\cdots (1-g_N)+(1-g_1)(1-g_2)\cdots (1-g_N)g_{N+1} \\=1-(1-g_1)(1-g_2)\cdots (1-g_N)(1-g_{N+1}).$$

  则当 $x \in K\subset \bigcup_{i=1}^n H_i$ 时，存在 $H_i$ 使得 $x \in H_i$，即 $g_i=1$.

  因此，

  $$\sum_{i=1}^n h_i(x) = 1, x \in K.$$