第十二讲 点集拓扑：紧集和Hausdorff空间

2021年04月09日 实分析笔记

欧耀彬 教二2405

基本定义

定义2.3. 设 $X$ 是拓扑空间.

• $E$ 是闭集当且仅当 $E^c$ 是开集.

  空集和全集既开又闭，闭集的有限并和任意交为闭集.

• $E$ 的闭包 $\bar{E}$ 是包含 $E$ 的最小闭集，即包含 $E$ 的所有闭集的交集.

• $K$ 为紧集当且仅当 $K$ 的每个开覆盖包含有限子覆盖.

  $X$ 为紧空间当且仅当 $X$ 是紧集.

• 任何一个包含点 $P$ 的开集被称为 $P$ 的邻域.

• 若 $X$ 是Hausdorff空间，则对于任意 $p,q \in X, p \neq q$，存在 $p$ 和 $q$ 的邻域 $U_{p,q},V_{p,q}$，使得 $U_{p,q}\cap V_{p,q}=\varnothing$.

  上述性质也被称为Hausdorff分离公理.

• $X$ 是局部紧的，当且仅当，对于任意 $p \in X$，存在 $p$ 的某个邻域 $U_p$，满足 $\bar{U}_p$ 是紧集.

  由于 $\R^n$ 中的紧集=有界闭集（Heine-Borel定理），对于任意 $p \in \R^n$，存在包含 $p$ 的开球含于 $\R^n$，开球的闭包是闭球，即为有界闭集，因而 $\R^n$ 是局部紧的空间.

紧集、闭集和开集的关系

• 定理2.4.（紧集的闭子集是紧集）$K$ 是紧集，$F$ 是闭集，且 $F \subset K$，则 $F$ 是紧集.

  证：

  设 $\{V_a\}$ 是 $F$ 的开覆盖，则 $\{F^c\} \cup \{V_a\}$ 是 $X$ 的开覆盖，也为 $K$ 的开覆盖.

  由 $K$ 是紧集知，存在 $\{V_{a_i}\}_{i=1}^n$ 使得 $F \subset K \subset F^c \cup V_{a_1} \cup \cdots \cup V_{a_n}$.

  于是，$F \subset V_{a_1} \cup \cdots \cup V_{a_n}$.

  因此，$F$ 是紧集.

• 推论. 若 $A \subset B$，且 $B$ 有紧闭包，则 $A$ 也有紧闭包.

  证：

  因 $A \subset B \subset \bar{B}$，$\bar{A}$ 是包含 $A$ 的最小闭集，则 $\bar{A} \subset \bar{B}$.

  由定理2.4知，$\bar{A}$ 是紧集.

• 定理2.5. 设 $X$ 是Hausdorff空间，$K$ 紧，$p \in K^c$，则存在开集 $U,W$ 使得 $p \in U,K \subset W$，且 $U \cap W =\varnothing.$

  证：

  对于任意 $q \in K$，因 $p \in K^c$，故 $p \neq q$.

  则存在开集 $U_q,W_q$（$p$ 固定），使得 $U_q \cap W_q = \varnothing$，且 $p \in U_q,q \in W_q$.

  由于 $K$ 紧，且被 $\{W_{q}\}$ 覆盖，则存在有限子覆盖 $\{W_{q_i}\}_{i=1}^{n}$，使得 $K \subset W_{q_1}\cup \cdots \cup W_{q_n}$.

  令 $W=W_{q_1}\cup \cdots \cup W_{q_n}$，$U=U_{q_1}\cap \cdots \cap U_{q_n}$.

  则 $p \in U,K \subset W$，且 $U \cap W =\varnothing.$

• 推论：

  1. Hausdorff空间的紧子集是闭集.
  2. 在Hausdorff空间中，若 $F$ 是闭集，$K$ 是紧集，则 $F \cap K$ 是紧集.

  证：

  1. 设 $K$ 是Hausdorff空间 $X$ 的紧子集，下面证明 $K^c$ 是开集.

     对于任意 $p \in K^c$，由定理2.5知，存在开集 $U,W$ 使得 $p \in U,K \subset W$，且 $U \cap W =\varnothing.$

     于是，$p \in U \subset W^c \subset K^c$，因此 $K^c$ 是开集.

     注意到，$K^c$ 含于所有 $p$ 的邻域的并，且所有 $p$ 的邻域的并含于 $K^c$，而开集的任意并为开集.

  2. 由1知，$K$ 也是闭集，于是 $F \cap K$ 是闭集.

     再由紧集的闭子集也是紧集知，$F \cap K$ 是紧集.

• 定理2.6. 设 $\{K_a\}$ 是Hausdorff空间中的紧子集族，且 $\cap_{a} K_a=\varnothing$，则存在 $\{K_a\}$ 中的有限个紧子集使得其交集为空集.

  证：令 $V_a = K_a^c$，则 $V_a$ 是开集.

  对于 $\{K_a\}$ 中的某个紧子集 $K_1$，由 $\cap_{a} K_a=\varnothing$ 知，

  $$K_1 \cap (\cap_{a\neq 1}K_a)=\varnothing, K_1 \subset (\cap_{a\neq 1}K_a)^c=\cup_{a\neq 1}K_a^c=\cup_{a\neq 1}V_a \subset \cup_{a}V_a.$$

  即 $\{V_a\}$ 是紧集 $K_1$ 的开覆盖.

  于是，存在有限子覆盖 $\{V_{a_i}\}_{i=1}^n$ 使得 $K_1 \subset V_{a_1} \cup \cdots \cup V_{a_n}$.

  因此，

  $$K_1 \cap K_{a_1} \cap \cdots \cap K_{a_n} = K_1 \cap (\cup_{i=1}^n K_{a_i}^c)^c=K_1 \cap (\cup_{i=1}^n V_{a_i})^c=\varnothing.$$

• 定理2.7. 设 $X$ 是局部紧的Hausdorff空间，$U \subset X$ 开，$K \subset U$ 紧，则存在具有紧闭包的开集 $V$，使得

  $$K \subset V \subset \bar{V} \subset U.$$

  分析：在实轴上，由实数的稠密性，即任意两个实数之间存在第三个实数，那么，对于开子区间含于闭区间的情形，上述 $V$ 是存在的.

  证：

  因 $X$ 是局部紧的，则对于 $K$ 的任意一点 $p$，存在一个邻域 $U_p$，使得 $\bar{U}_p$ 是紧集.

  且由于 $K$ 是紧集，$K$ 可被有限个邻域覆盖，即 $K \subset U_{p_1} \cup \cdots \cup U_{p_n}$.

  记上述有限个邻域的并为 $G$，即 $G=U_{p_1} \cup \cdots \cup U_{p_n}$。

  因此，$\bar{G}=\bar{U}_{p_1} \cup \cdots \cup \bar{U}_{p_n}$ 是紧集.

  若 $U=X$，则取 $V=G$ 即可.

  若 $U \neq X$，令 $C = U^c \neq \varnothing$，由定理2.5知，对于任意 $p \in C = U^c \subset K^c$，存在开集 $W_p,U_p$ 满足

  $$K \subset W_p, p \in U_p, W_p\cap U_p = \varnothing.$$

  显然，$U_p^c$ 是闭集，$W_p \subset U_p^c$，由 $p \not \in U_p^c$ 知 $p \not \in \bar{W}_p \subset U_p^c$.

  于是，

  $$C \cap (\cap_{p \in C} \bar{W}_p) = \varnothing.$$

  对于紧集族 $\{ C \cap \bar{G} \cap \bar{W}_p\}$，满足

  $$\cap_{p \in C} ( C \cap \bar{G} \cap \bar{W}_p)= C \cap \bar{G} \cap (\cap_{p \in C} \bar{W}_p) = \varnothing.$$

  由定理2.6知，存在 $p_1,\cdots,p_n \in C$ 使得

  $$C \cap \bar{G} \cap (\cap_{i=1}^n \bar{W}_{p_i})=\varnothing.$$

  取 $V=\bar{G} \cap (\cap_{i=1}^n \bar{W}_{p_i})$，即为所求，且

  $$K \subset V \subset \bar{V} \subset C^c=U.$$