第十讲 几乎处处意义下的相关结论

2021年04月02日 实分析笔记

欧耀彬 教二2405

可测函数及相关定理

• 定义1.37. 若 $E \in M$，$\mu(E^c)=0$，且对于任意开集 $V$，$f^{-1}(V)\cap E$ 可测，则称定义在 $E \in M$ 上的函数 $f$ 是可测的. 且针对前面的重要定理，可以给出几乎处处的版本.

• Lebesgue单调收敛定理（Levi定理）：

  设 $f_n$ 为 $\text{a.e.}$ 正可测函数，$\mu$ 是正测度，若

  $$\begin{align*} &(a).\ \forall x \in X, 0 \leq f_1(x) \leq f_2(x) \leq \cdots \leq \infty, \text{a.e.} \\ &(b).\ \forall x \in X, \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x), \text{a.e.} \end{align*}$$

  则 $f$ $\text{a.e.}$ 正可测，且

  $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n(x) = \int_X f(x).$$

• 逐项积分（正可测函数）的一个更一般的推广参见下一部分.

• Fatou引理：

  若 $f_n: X \rightarrow [0, +\infty]$ $\text{a.e.}$ 可测，则

  $$\liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_n \ge \int \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n.$$

• Lebesgue控制收敛定理：

  设 $\{f_n\}$ 复可测，$f_n$ 几乎处处收敛于 $f$，且存在 $g \in L^1(X,\mu)$，使得

  $$|f_n(x)| \leq g(x) \ \text{a.e.}, \forall n.$$

  则 $f \in L^1$，且 $f_n$ 强收敛于 $f$，$\int f_n$ 收敛于 $\int f$.

可积函数的逐项积分

• 定理1.38.（可积函数的逐项积分）

  设 $\{f_n\}$ 是在 $X$ 上几乎处处有定义的复可测函数，即 $f_n(x) < \infty,\ \text{a.e.}$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_X |f_n| \, d\mu < \infty$，则

  $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$$

  对几乎处处的 $x$ 收敛.

  且 $f(x)\in L^1(X,\mu)$，

  $$\int_X f \, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_X f_n \, d\mu.$$

• 数学分析中的一致收敛与积分：

  • Water Rudin 数学分析原理定理7.16.

    令 $\alpha$ 在 $[a,b]$ 上单调递增，在 $[a,b]$ 上 $f_n(x)\in \mathscr{R}(\alpha),n = 1,2,\cdots$，若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$，则在 $[a,b]$ 上 $f \in \mathscr{R}(\alpha)$，且

    $$\int_a^b f \,d \alpha = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n \, d\alpha.$$

  • 推论（逐项积分）：

    若在 $[a,b]$ 上 $f \in \mathscr{R}(\alpha)$，且

    $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \quad (a \leq x \leq b),$$

    级数在 $[a,b]$ 上一致收敛，则

    $$\int_a^b f \, d\alpha = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n \, d\alpha.$$

• 证明逐项积分定理：

  证：

  设 $S_n$ 是使得 $f_n(x)$ 有定义的全体 $x$，则 $\mu(X-S_n)=0$.

  令 $S=\bigcap_{n=1}^{\infty} S_n$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 在 $S$ 上有定义.

  且

  $$\mu(X-S)=\mu(X-\bigcap_{n=1}^{\infty} S_n)=\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} (X-S_n))\leq \sum_{n=1}^{\infty}(X-S_n)=0.$$

  令 $\varphi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} |f_n(x)|, \forall x \in S$，由于 $|f_n(x)| \ge 0$，用非负可测函数列的逐项积分定理知，

  $$\int_S \varphi(x)\, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_S |f_n(x)|\, d\mu < \infty.$$

  下面证明 $\varphi(x)$ 几乎处处小于无穷，即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 几乎处处绝对收敛.

  令 $E\subset S$ 是 $S$ 中使得 $\varphi(x)<\infty$ 的全体，则 $\mu(S-E)=0$.

  否则，$\mu(S-E)>0$，有

  $$\int_S \varphi \, d\mu \ge \int_{S-E} \varphi \, d\mu \ge \infty \cdot \mu(S-E)=\infty.$$

  矛盾.

  于是，

  $$\mu(X-E)=\mu((S-E)\cup (X-S))=\mu(S-E)+ \mu(X-S)=0.$$

  因此，$\varphi(x) < \infty \ \text{a.e.}$，即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 几乎处处绝对收敛，则 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 也几乎处处收敛.

   

  令 $g_n=\sum_{i=1}^n f_i$，则 $|g_n(x)| \leq \varphi(x)$（控制函数），且对于任意 $x \in E$，$g_n(x) \rightarrow f(x), n\rightarrow \infty$.

  由控制收敛定理知，$f \in L^1(E,\mu)$，即 $f \in L^1(X,\mu)$，且

  $$\int_E g_n \rightarrow \int_E f, n\rightarrow \infty.$$

  其中，

  $$\int_E g_n = \int_X g_n = \sum_{i=1}^n \int_X f_i, \int_E f =\int_X f.$$

  因此，

  $$\int_X f \, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_X f_n \, d\mu.$$

关于几乎处处的性质

• 定理1.39.(a). 若 $f$ 非负可测，$E \in M$，$\int_E f = 0$，则 $f=0$ 在 $E$ 上几乎处处成立.

  证：令 $A=\{x \in E: f(x) > 0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$，要证明 $\mu(A)=0$.

  其中，

  $$A_n=\{x \in E: \frac{1}{n-1} > f(x) \ge \frac{1}{n}\}, n\ge 2, A_1=\{x \in E: f(x) \ge 1\}.$$

  且 $A_n$ 互不相交.

  显然，$\mu(A_1)=0$.

  而

  $$\frac{1}{n} \mu(A_n) \leq \int_{A_n} f \,d \mu \leq \int_E f \,d \mu =0.$$

  即 $\mu(A_n)=0,n \ge 2$.

  因此，$\mu(A)=\sum_{n=i}^{\infty}\mu(A_n)=0$.

• 定理1.39.(b). 若 $f \in L^1(X,\mu)$，且对于任意 $E \in M$，$\int_E f =0$，则 $f=0$ 在 $X$ 上几乎处处成立.

  证：

  令 $f=u+iv$，则 $\int_E u = \int_E v=0$.

  下面只需证明 $u,v$ 几乎处处为零，即 $u^+,u^-,v^+,v^-$ 几乎处处为零.

  只考虑 $u^+$，其他情形类型.

  令 $E'=\{x \in X: u(x) \ge 0\}$.

  $u^+=\max\{u,0\}$，于是只要证明 $u^+=0$ 在 $E'$ 上几乎处处成立.

  注意到

  $$\int_{E'} f=0 \Rightarrow \int_{E'} u=0 \Rightarrow \int_{E'} u^+=0 \Rightarrow u^+=0 \ \text{a.e.}\ \text{on} \ E'.$$

  因此，$u^+=0$ 在 $X$ 上几乎处处成立.

• 定理1.39.(c). 设 $f \in L^1$，且 $|\int_X f|= \int_X |f|$，则存在常数 $\alpha \in C$，满足 $\alpha f=|f|$ 在 $X$ 上几乎处处成立.

  注：在极分解中，$\alpha f = |f|$ 有 $\bar{\alpha}=f/|f|$，即 $\bar{\alpha}$ 是一个函数.

  证：

  令 $z = \int_X f \, d\mu$（复数），则存在 $\alpha \in Z$，满足 $|\alpha| = 1$，且

  $$\alpha z = |z|.$$

  令 $\alpha f=u+iv$，则

  $$u \leq |\alpha f|=|\alpha| |f|=|f|. \quad(*)$$

  于是，

  $$|\int_X f|=|z|=\alpha z = \int_X \alpha f=\int_X u \leq \int_X |f|.$$

  由于 $|\int_X f|= \int_X |f|$，则

  $$\int_X |f|-u=0.$$

  于是，$|f|=u$ 几乎处处成立.

  再由 $(*)$ 知，

  $$|\alpha f|=\sqrt{u^2+v^2}=|f|=u=\operatorname{Re}(\alpha f),\ \text{a.e.}$$

  则 $v=0$ 几乎处处成立.

  因此，$\alpha f=u=|f|$ 几乎处处成立.

其他结论

• 定理1.40. 设 $\mu(X)< \infty$，$f \in L^{1}(\mu,X)$，$S \subset C$ 为闭集，且对于任意可测集 $E \in M$，$\mu(E) > 0$，平均值

  $$A_{E}(f)=\frac{1}{\mu(E)} \int_E f \, d\mu \in S,$$

  则 $f(x) \in S$ 在 $X$ 上几乎处处成立.

• 与定理1.40类似的定理为定理7.7.

  若 $f \in L^{1}(\mu,\mathbb{R}^n)$，则对于 $\text{a.e.}\ x\in \mathbb{R}^n$，有

  $$A_{B_{R}(x)}(f)= \frac{1}{\mu(B_{R}(x))} \int_{B_{R}(x)} f \, d\mu \rightarrow f(x), R \rightarrow 0.$$

  其中，$B_{R}(x)=\{y: |y-x| < R \}$.

• 证明定理1.40.

  证：

  只需证明 $f^{-1}(C-S)=f^{-1}(S^c)$ 是零测集.

  $S=C$ 时结论是显然的，于是 $S^c$ 是一个非平凡的开集，即非空开集.

  则 $S^c$ 总可以表为可数个形如 $B_{\alpha}(r)$ 的开球的并，其中 $\alpha \in S^c,r>0$.

  因为对于任意 $S^c$ 的元素，存在某个以有理点为中心的开球，一方面含该元素，另一方面含于 $S^c$，而全体有理点是可数的.

  于是，只要证 $f^{-1}(B_{\alpha}(r))=E$ 是零测集，即 $\mu(E)>0$.

  反证法. 设 $\mu(E)>0$，则

  $$|A_E(f)-\alpha|=\frac{1}{\mu(E)}|\int_E (f-\alpha) \,d \mu| \leq \frac{1}{\mu(E)} \int_E |f-\alpha| \,d \mu \leq r\mu(E)/\mu(E)=r.$$

  则 $A_E(f) \in \bar{B}_{\alpha}(r)$.

  注意到，取 $r$ 充分小，总能让 $\bar{B}_{\alpha}(r) \cap S =\varnothing$.

  因此，与 $A_E(f) \in S$ 矛盾.

• 定理1.41. 设 $\{E_k\}$ 是 $X$ 中的可测集列，且 $\sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k)< \infty$，则 $\text{a.e.}\ x\in X$ 至多属于其中有限个 $E_k$.

  证：

  令计数函数 $g(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \chi_{E_k}(x), x\in X$.

  由于 $\chi_{E_k}(x)\ge 0$，则利用正可测函数的逐项积分定理知，

  $$\int_X g = \sum_{k=1}^{\infty} \int_X \chi_{E_k}(x) =\sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k)< \infty.$$

  则 $g(x)<\infty$ 在 $X$ 上几乎处处成立.（否则，$\int_X g \ge \int_E g \ge G \cdot \mu(E), \forall G>0$）

  即，$\text{a.e.}\ x\in X$ 至多属于有限个 $E_k$.