第六讲 一般均衡 MWG 15.A-15.C

均衡的概念

• 局部均衡：只考虑单个或部分商品的交易情况，把其他商品的参数当做外⽣给定
• ⼀般均衡：通盘考虑所有商品在市场交易中的相互影响，在公共政策评估中也要考虑一般均衡
• 绝大多数经济学中的结论在一般均衡和局部均衡中类似，所以局部均衡研究更多

纯交换经济

• 没有⽣产
• 市场主体是消费者：每个消费者都拥有既定的商品禀赋
• 经济活动：消费者之间进⾏交易，进⽽消费所得商品

最简单的交换经济

• 两个消费者，两种商品

• 两个消费者是价格接受者：好像很难成⽴？（可视为两类消费者）

• 定义

  • 消费者 $i = 1, 2$，商品 $l = 1, 2$

  • 消费向量和消费集

    $$x_1=(x_{11},x_{21}) \in X_1,x_2=(x_{12},x_{22}) \in X_2$$

    商品为第一个下标，消费者为第二个下标，偏好关系 $\succsim_1,\succsim_2$

  • 每个消费者的禀赋向量

    $$\omega_1=(\omega_{11},\omega_{21}),\omega_2=(\omega_{12},\omega_{22})$$

    每种商品的总禀赋（严格正）

    $$\bar{\omega}_1=\omega_{11}+\omega_{12}>0,\bar{\omega}_2=\omega_{21}+\omega_{22}>0$$

  • 配置向量 $x \in \mathbb{R}_{+}^{4}$，可⾏配置（feasible allocation）和不浪费的配置

    • $x=(x_1,x_2)=((x_{11},x_{21}),(x_{12},x_{22}))$
    • 可行配置要求 $x_{11}+x_{12}\leq \bar{\omega}_1,x_{21}+x_{22}\leq \bar{\omega}_2$
    • 没有浪费时取等号，即需求等于供给，市场出清

埃奇沃斯盒式图

• 两个原点 $O_1,O_2$
• 盒式图的⻓和宽分别表示两种商品的总禀赋 $\bar{\omega}_1,\bar{\omega}_2$
• 盒式图内的任意⼀点可能表示⼀种初始禀赋结构，也可能表示⼀种不浪费的商品配置

财富

• 财富不是外⽣给定的，财富是初始禀赋的市场价值

  $$W_1=p_1\omega_{11}+p_2\omega_{21},W_2=p_1\omega_{12}+p_2\omega_{22}$$

• 给定⼀组价格，消费者的财富就是他所拥有禀赋的价值，即财富水平由商品价格决定

• 预算约束集的数学表达

  $$p_1x_{11}+p_2x_{21}\leq W_1,p_1x_{12}+p_2x_{22}\leq W_2$$

• 预算约束线必然通过初始禀赋点，初始禀赋是恰好花得起的

• 两个消费者的预算约束线重合，预算约束线外的点只有一个消费者买得起，最终的消费束一定落在预算约束线上，即只有预算约束线上的配置才能同时被两个消费者买得起

偏好

• ⼀般假设：严格凸，连续，严格递增
• 两个消费者的⽆差异曲线

最优消费及其轨迹

• 对单个消费者来说，预算集和⽆差异曲线决定最优商品消费（图示）

• 随着价格的变化，最优消费的轨迹叫做提供曲线（offer curve）

  • 围绕初始禀赋点旋转
  • 最初源于国际贸易，商品数量如何随着汇率的变化而变化

• 提供曲线通过初始禀赋点，并且位于初始禀赋点的上等⾼集中，还可能与初始禀赋点对应的⽆差异曲线相切在初始禀赋点（教材：相切要求无差异曲线是平滑的）

  • 提供曲线通过初始禀赋点：一定有一个无差异曲线通过初始禀赋点，若严格凸，则一定存在一条无差异曲线的切线通过初始禀赋，切点也是对应价格下的最优消费选择，说明消费者偏好不交换
  • 位于初始禀赋点的上等⾼集：上等高集为初始禀赋对应的无差异曲线上方的集合，提供曲线上的点是交换后的选择，必定比停留在初始禀赋的效用更高的位置。或者按照教材上的解释，在每个价格水平上，消费者都能买得起禀赋，表明消费者提供曲线上的任一点至少与禀赋一样好

• 提供曲线的轨迹可以偏折——违反需求定律？

  • $p_1$ 相对于 $p_2$ 在增加，消费者1的预算约束线在变陡峭，随后有可能消费 $x_{11},x_{21}$ 都在增加，因为价格的变化本身也在影响财富，并不违背需求定律

市场均衡

• 没有达到均衡的图示

  • 商品1有剩余（供过于求），商品2还不够（供不应求），说明商品1价格太高，商品2价格太低，价格调整旋转无差异曲线，两个消费者的无差异曲线最终相遇（与你相遇，好幸运，哈哈哈～）

• 均衡情况下，市场出清，⼀个消费者对某商品的净需求等于另⼀个消费者对该商品的净供给（图示）

• 交换经济中，瓦尔拉斯（竞争）均衡的定义

  • 均衡两要素：价格和配置
  • 均衡两要求：在均衡价格下，配置最优（每个消费者在给定价格下获得效用最大化的配置），且市场出清（每个商品市场总需求等于总供给）
  • 只有相对价格起作⽤：往往只能求解出相对价格 $p_1/p_2$。注意到，每个消费者的需求是价格向量 $p=(p_1,p_2)$ 的零次齐次函数，因为价格变化的同时财富也在等比例变化，预算集不变。总之，均衡确定的是相对价格而非决定价格
  • 数学表述：（考试时注意）均衡同时求解出价格和配置 $p^*=(p_1^*,p_2^*),x^*=(x_1^*,x_2^*)$

• 提供曲线的相交之处就是市场均衡（除了初始禀赋点）

  • 过初始禀赋点和提供曲线的另一个交点确定一条预算约束线，另一个交点为两个消费者同时最优的配置
  • 单单只有初始禀赋点无法确定一条直线，其对于两个消费者相应的预算线不一定重合

均衡求解

• 第⼀步：给定价格，求最优消费

• 第⼆步：市场出清，求均衡价格

• 例题：两消费者有同样的柯布道格拉斯效⽤函数 $u_1=x_{11}^\alpha x_{21}^\beta,u_2=x_{12}^\alpha x_{22}^\beta$，初始禀赋分别为$(1,2),(2,1)$，求解瓦尔拉斯均衡

  $$\omega_{11}=1,\omega_{21}=2,\omega_{12}=2,\omega_{22}=1 \\ x_{11}=\frac{\alpha }{\alpha+\beta}\frac{W_1}{p_1}, x_{21}=\frac{\alpha }{\alpha+\beta}\frac{W_1}{p_2}, x_{12}=\frac{\alpha }{\alpha+\beta}\frac{W_2}{p_1}, x_{22}=\frac{\alpha }{\alpha+\beta}\frac{W_2}{p_2} \\ W_1=p_1+2p_1,W_2=2p_1+p_2$$

  市场一出清

  $$3=\frac{\alpha}{(\alpha+\beta)p_1}(3p_1+3p_2)$$

  可以求解价格之比为 $p_1^*/p_2^*=\alpha/\beta$，求解市场二的出清条件是相同的，理由如下：

• 有 $N$ 个商品，如果 $N-1$ 个商品市场出清，那么剩下的那个商品市场⼀定也出清

  证明：消费者 $i$，商品 $l=1,\cdots,N$，第 $i$ 个消费者的总花费

  $$p_1x_{1i}+\cdots+p_Nx_{Ni}=p_1\omega_{1i}+\cdots+p_N \omega_{Ni}$$

  对所有消费者求和

  $$p_1 \sum\limits_{i=1}^{I}x_{1i}+\cdots+p_N \sum\limits_{i=1}^{I}x_{Ni}=p_1 \sum\limits_{i=1}^{I}\omega_{1i}+\cdots+p_N \sum\limits_{i=1}^{I}\omega_{Ni}$$

  整理得

  $$p_1(\sum\limits_{i=1}^{I}x_{1i}-\sum\limits_{i=1}^{I}\omega_{1i}) +\cdots+p_N (\sum\limits_{i=1}^{I}x_{Ni}-\sum\limits_{i=1}^{I}\omega_{Ni})=0$$

  以上 $N-1$ 个括号为0（出清），剩下的一个括号必定为0（出清）

市场均衡的存在性

• 市场均衡什么时候存在？

  • 每⼀个消费者的偏好是严格凸、连续和严格递增
  • 阿罗和德布鲁证明

⼀个消费者和⼀个⽣产者的经济

经济设定

• 经济活动：消费者向⽣产者提供劳动；⽣产者借助劳动⽣产消费品，卖给消费者，赚取利润；消费者从⽣产者处赚得⼯资，并分得⽣产者的利润，然后购买消费品，并享受劳动之余的闲暇
• 两种商品：闲暇、⽣产者产出的消费品；价格接受者（可以理解为一批消费者和一批生产者）
• 消费者的偏好是凸、连续和严格递增的；消费者没有消费品禀赋，但有时间禀赋 $L$；⽣产函数是递增和严格凹的
• 鲁滨逊经济（Robinson Crusoe economies）

最优化问题

• ⽣产者的最优化问题

  $$\max\limits_z pf(z)-wz,\ pf'=w$$

• 消费者的最优化问题

  $$\max u(x_1,x_2) \\ \text{s.t.}\ px_2 \leq w(L-x_1)+\pi$$

  其中 $x_1$ 为闲暇，$x_2$ 为商品，预算约束可化为 $px_1+wx_2=wL+\pi$，消费者不直接影响企业决策

• 瓦尔拉斯均衡的定义：价格、劳动需求与配置 $(p^*,w^*),(z^*,x_1^*,x_2^*)$

• 图示：⽣产者最优化、消费者最优化、均衡

  • 生产者和消费者两个原点，一个横轴，两个纵轴，左边为消费者，右边为生产者，横轴长度为 $L$
  • 生产者的劳动需求等于消费者的劳动供给，生产者的产出等于消费者的消费，为一个出清的配置
  • 消费者的预算约束线与生产者的等利润线平行，斜率为 $-w/p$
  • 其实消费者的预算约束线与生产者的等利润线重合，生产者的等利润线 $q=-\frac{w}{p}z+\frac{\pi}{p}$，消费者的预算约束线 $x_2=-\frac{w}{p}x_1+\frac{wL+\pi}{p}$，$x_1=L$ 时可发现两条线的截距相等
  • 消费者效用最大化，生产者利润最大化，生产集与无差异曲线相切，且唯一确定一条切线及其对应的价格

• 求解一般均衡

  • $f(z)=\sqrt{z}, u(x_1, x_2)=\ln (x_1)+\ln (x_2)$，时间禀赋为 $1$

  • 第一步：企业利润最大化

    $$\max\limits_z p\sqrt{z}-wz \\ z=\frac{p^2}{4w^2},\pi=\frac{p^2}{4w},\sqrt{z}=\frac{p}{2w}$$

  • 第二步：消费者效用最大化

    $$\max \ln (x_1)+\ln (x_2) \\ \text{s.t.}\ wx_1+px_2=w\cdot 1+\pi \\ x_1=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2w}=\frac{1}{2}+\frac{p^2}{8w^2},x_2=\frac{w}{2p}+\frac{p}{8w}$$

  • 第三步：市场出清

    劳动力市场出清

    $$1-x_1=1-\frac{1}{2}-\frac{p^2}{8w^2}=\frac{p^2}{4w^2},\ w/p=\sqrt{3}/2$$

    可以验证该价格之比也满足商品市场出清

    $$\frac{w}{2p}+\frac{p}{8w}=f(z)=\sqrt{z}=\frac{p}{2w}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

  • 最终代入得到均衡配置 $z^*=1/3,x_1^*=2/3,x_2^*=\sqrt{3}/3$，均衡价格为前述 $w^*/p^*=\sqrt{3}/2$

福利分析

配置的福利性质

• 帕累托最优/帕累托有效在交换经济中的定义：一个市场配置，找不到另外一个市场配置满足不损害任何一个人（每个人的状况至少一样好）的情况下使得某个人更好

• 帕累托最优和没有达到最优的图示

  • 无差异曲线相切的情况为配累托最优
  • 无差异曲线相交的情况不是配累托最优

• 帕累托集（Pareto set）

  • 所有帕累托最优的点构成的轨迹

• 契约曲线（contract curve）/核：交易可能达成的地⽅

  • 通过初始禀赋的两个消费者的无差异曲线，构成的梭形会使得两个消费者变得更好，但其中最有可能达成的在帕累托集上，帕累托集（轨迹）在梭形中的部分被称为契约曲线
  • 简言之，契约曲线是使得两个消费者的状况至少和初始禀赋一样好的那部分帕累托集，两个消费者讨价还价导致的交易协议必定位于合同曲线的某个点上

• ⼀个消费者和⼀个⽣产者问题中的帕累托最优

福利经济学定理

• 福利经济学第⼀定理

  • 任⼀瓦尔拉斯均衡为帕累托最优

  • 另外，由于瓦尔拉斯均衡中的状况至少与禀赋一样好，任何瓦尔拉斯均衡必定位于契约曲线上

  • 福利经济学第⼀定理成⽴的前提很宽泛，只要求偏好满⾜局部⾮餍⾜

  • 看不见的⼿：在完全竞争条件下，任何均衡配置是帕累托最优的，从福利角度，政府干预经济的唯一可能理由是完成分配目标

    [H]e intends only his own gain, and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to promote an end which was no part of his intention...By pursuing his own interest he frequently promotes that of the society more effectually than when he really intends to promote it.

• 福利经济学第⼆定理

  • 帕累托最优配置可通过⼀般均衡实现
  • 福利经济学第⼆定理的成⽴前提更严格，要求⽣产集为凸、偏好关系为凸、偏好关系满⾜局部⾮餍⾜
  • 在特定条件下，政策制定者只要通过适当的⼀次性财富再分配，就可以让市场达到⾃⼰想要的帕累托有效的配置（图示：再分配财富或禀赋）
  • 充分利⽤市场实现再分配的政策⽬标