第五讲 生产理论 MWG 5.A-5.C

生产集（生产技术）

• 生产向量是 $L$ 维的实数向量 $y$，$y=\left(y_{1}, \dots, y_{1}\right) \in \mathbb{R}^{L}$

  • 每⼀维代表投⼊或产出：投⼊为负数，产出为正数，不参与生产（既不是投入品又不是产出品）为 $0$
  • 本质上，⼀个⽣产向量代表⼀种⽣产⽅案（production plan）
  • 劳动⼒也可以计⼊在内

• 生产集 $Y$（$y \in Y$）

  • 对⼀个企业来说，⽣产集⾥包含了所有技术上可⾏的⽣产⽅案
  • 可类⽐预算约束集
  • 除技术上的约束外，可能也有其他如制度（环境污染管制）、法律、契约等的约束

• 生产技术边界：⽣产技术边界上的点表示企业技术刚好能实现的⽣产⽅案

  • 横坐标 $x_1$ 为投入品，纵坐标 $x_2$ 为产出品，对于某一个点，为一个生产方案 $y=(x_1,x_2)$
  • 第三象限的点表示扔掉 $x_1,x_2$，第二象限为正常情况，拼尽全力所能达到的为边界

• 单商品产出的⽣产技术

  • $L$ 种商品，前 $L-1$种是投⼊品，第 $L$ 个是产出品，$y=(-z,q)'$，其中 $z$ 为 $L-1$ 维，$q$ 为一维
  • 在此基础上可以定义生产函数 $f(z)$，$f$ 暗含为最大产出能力（边界）

• 利⽤⽣产函数来定义⽣产集和⽣产技术边界

  • 生产集 $Y=\{y=(-z,q)|q \leq f(z)\}$，其中 $q$ 为实际产出，$f$ 为可行产出
  • 生产技术边界 $\bar{Y}=\{y=(-z,q)|q = f(z)\}$

• 边际技术替代率

  • 经济含义：如果投⼊品 $l$ 减少⼀个单位，需要增加多少单位的投⼊品 $k$，才能保证产出不变？

  • 对 $f(z_1,z_2,\cdots,z_{L-1})$ 求全微分，即为

    $$df=f_1dz_1+\cdots+f_ldz_l+\cdots+f_kdz_k+\cdots+f_{L-1}dz_{L-1}=0$$

    其中$f_i=\frac{\partial f}{\partial z_i}$，其他投入不变即 $dz_s=0,s\neq l,k$，投入品 $l$ 减少⼀个单位即 $dz_l=-1$ 时

    $$f_ldz_l+f_kdz_k=-f_l+f_kdz_k=0 \Rightarrow dz_k=f_l/f_k$$

    因此 $k$ 替代 $l$ 的边际替代率为特定要素的边际产出之比 $f_l/f_k$（注意被替代的 $l$ 在分子上）

• 柯布-道格拉斯⽣产函数 $f(z_1,z_2)=z_1^\alpha z_2^\beta$

  • 边际替代率（减少一单位 $z_1$ 要增加多少单位 $z_2$）为 $\alpha z_2/\beta z_1$。当 $z_1$ 很大的时候，例如劳动密集型的工厂，工人 $z_1$ 和机器 $z_2$，此时减少一单位工人只需要增加一点点机器
  • 边际技术替代率递减规律：边际替代率随投⼊品数量增加而递减。从等产量线的图示可见

• ⽣产集的常⻅假设

  1. ⽣产集⾮空：企业总有可行的⽣产⽅案，否则没有研究的必要
  2. ⽣产集是闭集：生产集合 $Y$ 包括技术边界
  3. 天下没有免费的午餐（no free lunch）：若 $y\in Y, y\ge 0$ 则必定有 $y=0$，即 $Y \cap \mathbb{R}_{+}^{L} \subset\{0\}$，在二维的情况下表示生产技术边界经过原点
  4. 可以浪费（自由处置，free disposal）：如果任⼀ $y$ 在⽣产集⾥，那么任意 $y' \leq y$ 也在⽣产集⾥，$y'$ 的两个分量更小或相等，即投入不减少但产出不增加是可行的，$Y-\mathbb{R}_{+}^{L} \subset Y$，意味着企业能够以零成本处理或扔掉额外的投入或产出

• 假设续：规模报酬

  • 经济学原理中对于单个产出品，常见的情况为 $f(\alpha z)\leq \alpha f(z)$ 为规模报酬递减（或不变）。以下为一般化的情况
  • 规模报酬不递增：$\forall \ 0 < a \leq 1$，如果 $y$ 在⽣产集 $Y$ ⾥，那么 $ay$ 也在⾥⾯。意味着缩小生产规模是可行的（不生产也是可行的），但扩大生产规模不一定可行，此时边界为凹函数（粗略的说法）
  • 规模报酬不递减：$\forall \ a \ge 1$，如果 $y$ 在⽣产集⾥，那么 $ay$ 也在⾥⾯。此时边界为凸函数（粗略的说法）
  • 规模报酬不变：$\forall \ a > 0$，如果 $y$ 在⽣产集⾥，那么 $ay$ 也在⾥⾯。此时边界为直线
  • 柯布-道格拉斯⽣产函数与规模报酬：$\alpha+\beta=1$ 时规模报酬不变，$\alpha+\beta\leq 1$ 时为规模报酬不递增，$\alpha+\beta\ge 1$ 时规模报酬不递减

• 假设续：⽣产集是凸集

  • $y, y^{\prime} \in Y, \alpha \in[0,1], \quad \alpha y+(1-\alpha) y^{\prime} \in Y$
  • 如果⽣产集是凸集，且0点在⽣产集⾥，那么规模报酬⼀定不递增，证明：$\alpha y = \alpha y+(1-\alpha) 0 \in Y$
  • 对于单产出模型来说，⽣产函数 $f(z)$ 是凹函数等价于⽣产集是凸集

• 证明：若⽣产函数 $f(z)$ 是凹函数，⽣产集 $Y$ 是凸集

  要证

  $$\forall\ y_1,y_2 \in Y, 0 \leq \alpha \leq 1, \alpha y_1 + (1-\alpha)y_2 \in Y$$

  不失一般性，令 $y_1=(-z_1,q_1),y_2=(-z_2,q_2)$。

  因为 $y_1 \in Y$，所以 $q_1 \leq f(z_1)$，同理 $q_2 \leq f(z_2)$。即要证明

  $$(-(\alpha z_1 +(1-\alpha)z_2),\alpha q_1 +(1-\alpha)q_2) \in Y$$

  也就是

  $$\alpha q_1 +(1-\alpha)q_2 \leq f(\alpha z_1 +(1-\alpha)z_2)$$

  由前述两个不等式加权可得

  $$\alpha q_1 +(1-\alpha)q_2 \leq \alpha f(z_1) +(1-\alpha)f(z_2)\leq f(\alpha z_1 +(1-\alpha)z_2)$$

  其中第二个不等号利用⽣产函数 $f(z)$ 是凹函数

⽣产理论

• 基本设定

  • $L$ 维价格向量 $p=(p_1,\cdots,p_L)'$
  • 价格给定，企业是价格接受者
  • ⽣产集总是满⾜：⾮空、闭、可以浪费（自由处置性）

利润最大化

利润最⼤化问题

• 为什么最终⽬的是最⼤化利润？其实在最大化所有者权益，产权归私人所有，企业归股东所有，股东从企业拿到好处（如分红），取决于企业的利润。但中国语境下国有企业需要解决就业等政策性目的，国有企业存在预算软约束

• 数学表达 $\max\limits_{y \in Y} p \cdot y$，其中同时存在收入和成本（$y$ 同时存在产出和投入）

• 等利润线：$\pi=p_1 x_1+p_2 x_2$，所有利润为 $\pi$ 的投入组合为一组平行直线 $x_2=-\frac{p_1}{p_2}x_1 +\frac{\pi}{p_2}$，投入 $x_1$ 产出 $x_2$，直线往上移利润越大（纵轴截距最大），与生产集相切的结果为利润最大化

• 解函数：$y(p)=(-z(p),q(p))'$ 包含供给函数和无条件要素需求函数

• 值函数：$\pi(p)=py(p)$ 为利润函数

• 利润最大化的解并不总是存在：利润不为正或为正⽆穷⼤

  • 规模报酬递增：利润无穷大（不存在）
  • 规模报酬不变：利润无穷大（不存在），或者利润为零
  • 证明：$y \in Y, \forall a \ge 1, ay \in Y$，假设 $\pi=p\cdot ay=a\pi_0 \ge \pi_0$ 即总能找到利润更大的情况

• 利⽤⽣产函数解利润最⼤化问题：

  $$\max\limits_{z,q} pq,\ \text{s.t.}\ q\leq f(z)$$

  即 $\max\limits_z pf(z)-wz$，一阶条件为 $pf'(z)=w,f'(z)=w/p$

供给函数和利润函数的性质

• 供给函数是零次齐次函数：$y(\alpha p)=y(p)$

• 利润函数是⼀次⻬次函数：$\pi(\alpha p)=\alpha \pi(p)$

• 如果⽣产集严格凸（生产函数严格凹），那么利润最⼤化的解唯⼀

• 利润函数是凸函数：

  $$\alpha \in [0,1],\pi(\alpha p_1 + (1-\alpha)p_2)\leq \alpha \pi(p_1)+(1-\alpha)\pi(p_2)$$

  即

  $$(\alpha p_1 + (1-\alpha)p_2) y(\alpha p_1 + (1-\alpha)p_2) \\ = \alpha p_1 y(\alpha p_1 + (1-\alpha)p_2) + (1-\alpha)p_2 y(\alpha p_1 + (1-\alpha)p_2) \leq \alpha \pi(p_1)+(1-\alpha)\pi(p_2)$$

• 豪泰林引理（Hotelling lemma）：如果供给函数唯⼀，那么利润函数可微，且⼀阶导数等于供给函数

• 供给函数满⾜供给定律，要素需求函数满⾜需求定律（可微和⾮可微形式）

  • 可微形式：半正定方阵（对角线上的元素不小于零）

    $$\nabla_p^2 \pi(p)=\nabla_p y(p),\ y(p)=(q_1(p),q_2(p),\cdots,-z_2(p),-z_1(p)),\cdots$$

    然后考察对角线元素的正负

  • 非可微形式

    $$(p-p')(y(p)-y(p')) \ge 0,\quad LHS=(py(p)-py(p'))+(p'y(p')-p'y(p)) \ge 0$$

  • 解释：如果某种产出品的价格上升，那么该产出品的供给量增加；如果某种投入物价格上升，那么该投入物的需求下降

  • 供给法则对于任何价格变化都成立，与需求理论不同，供给不存在预算约束，也不存在任何类型的补偿要求，在本质上不存在财富效应，只有替代效应

成本最⼩化

成本最⼩化问题

• 为什么要研究成本最⼩化问题：在⾮竞争性的产品市场和竞争性的要素市场是一个有⽤的结果；最优化结果受规模报酬性质的影响⼩

• 数学表达 $\min\limits_{z}wz,\ \text{s.t.} f(z)\ge q$

• 条件要素需求函数（conditional factor demand

  correspondence）为 $z(w,q)$（给定产量 $q$），无条件要素需求函数为 $z(w,p)$（仅为价格的函数）

• 成本函数 $c(w,q)$

• 求解：最优化条件为 $f_1/f_2=w_1/w_2, f(z)= q$

条件要素需求函数和成本函数的性质

• 与⽀出最⼩化问题类⽐

• 条件要素需求函数是要素价格的零次齐次函数

• 成本函数是要素价格的⼀次⻬齐次函数，是产出的⾮减函数

• 如果等产出线的上等⾼集严格凸，那么条件要素需求函数唯⼀

• 成本函数是要素价格的凹函数

• 谢泼德引理（Shepard's lemma）：如果条件要素需求函数唯⼀，那么成本函数对要素价格的⼀阶导数等于条件要素需求函数，$\nabla_w c(w,q)=z(w,q)$

• 条件要素需求函数满⾜需求定律

• 当⽣产函数是⼀次齐次函数时，成本函数和条件要素需求函数都是产出的⼀次⻬次函数。即满足 $f(\alpha z)=\alpha f(z)$ 时

  $$z(w,\alpha q)=\alpha z(w,q),c(w,\alpha q)=\alpha c(w,q)$$

• 当⽣产函数是凹函数时，成本函数就是产出的凸函数（边际成本递增）

利润最⼤化与成本函数

• 边际收益 = 边际成本

• 两个最优化问题的等价性：

  1. $\max\limits_z pf(z)-wz \Rightarrow pf'(z)=w$
  2. $\max\limits_q pq-c(w,q) \Rightarrow p=\frac{\partial c(w,q)}{\partial q}$

• 柯布道格拉斯函数 $f\left(z_{1}, z_{2}\right)=z_{1}^{\alpha} z_{2}^{\beta}$ 的成本最⼩化

  • 成本最小化问题为

    $$\min\limits_{z_1,z_2} w_1z_1+w_2z_2,\ s.t. z_{1}^{\alpha} z_{2}^{\beta}\ge q$$

  • 解

    $$z_{1}\left(w_{1}, w_{2}, q\right)=q^{1 /(\alpha+\beta)}\left(\alpha w_{2} / \beta w_{1}\right)^{\beta /(\alpha+\beta)} \\z_{2}\left(w_{1}, w_{2}, q\right)=q^{1 /(\alpha+\beta)}\left(\beta w_{1} / \alpha w_{2}\right)^{\alpha /(\alpha+\beta)}$$

  • 成本函数

    $$c\left(w_{1}, w_{2}, q\right)=q^{1 /(\alpha+\beta)}\left[(\alpha / \beta)^{\beta /(\alpha+\beta)}+(\alpha / \beta)^{-\alpha /(\alpha+\beta)}\right] w_{1}^{\alpha /(\alpha+\beta)} w_{2}^{\beta /(\alpha+\beta)}=q^{1 /(\alpha+\beta)} \theta \phi\left(w_{1}, w_{2}\right)$$

  • 当规模报酬不变时，$\theta \phi\left(w_{1}, w_{2}\right)$ 是每单位产品的生产成本

• 柯布道格拉斯函数 $f\left(z_{1}, z_{2}\right)=z_{1}^{\alpha} z_{2}^{\beta}$ 的利润最大化

  • 利润函数为

    $$\pi\left(w_{1}, w_{2}, p\right)=p q\left(w_{1}, w_{2}, p\right)-w \cdot z\left(w_{1}, w_{2}, q\left(w_{1}, w_{2}, p\right)\right)$$

  • 其中

    $$q\left(w_{1}, w_{2}, p\right)=(\alpha+\beta)\left[p / \theta \phi\left(w_{1}, w_{2}\right)\right]^{(\alpha+\beta) /(1-\alpha-\beta)}$$

  • $\alpha+\beta<1$ 时存在唯一的最优解