第一讲 偏好关系与效用函数 MWG 1.A-1.B, 3.A-3.C

偏好关系的定义

• 选择集（choice set），选择 $x \in X$，元素两两互斥

• 偏好关系（preference relation）：定义在选择集上的二元关系，$x_1 \succsim x_2$ 表示 $x_1$至少和 $x_2$ 一样好，即 $x_1$ is at least as good as $x_2$

• $\succsim$ 偏好关系的衍生

  1. 严格偏好关系：$x_1 \succ x_2 \Leftrightarrow x_1 \succsim x_2$ but not $x_2 \succsim x_1$
  2. 无差异关系：$x_1 \sim x_2 \Leftrightarrow x_1 \succsim x_2$ and $x_2 \succsim x_1$

理性的偏好关系

• 公理（两个条件）：

  1. 完备性（completeness）：两个选择总能比出好坏优劣，即 $\forall x_1,x_2 \in X$，要么 $x_1 \succsim x_2$，要么 $x_2 \succsim x_1$，或同时成立
  2. 可传递性（transitivity）：$\forall x,y,z \in X, x \succsim y, y \succsim z \Rightarrow x \succsim z$

• 存在不理性偏好，但我们假设偏好关系是理性的，不理性的偏好不探讨

• 定理1：强偏好关系没有⾃反性，有可传递性

  • 强偏好关系没有⾃反性，即要证 $x \succ x$ 不成立，假设 $x \succ x$ 成立，则$x \succsim x$ 但 $x \succsim x$ 不成立，矛盾
  • 可传递性，即要证 $\forall x,y,z \in X, x \succ y, y \succ z \Rightarrow x \succ z$。已知定义 $x \succ y \Leftrightarrow x \succsim y$ but not $y \succsim x$，$y \succ z \Leftrightarrow y \succsim z$ but not $z \succsim y$，再由 $\succsim$ 偏好关系的传递性知 $x \succsim y,y \succsim z \Rightarrow x \succsim z$。假设 $z \succsim x$ 成立，而 $x \succsim y$，于是 $z \succsim y$，矛盾

• 定理2：无差异关系是自反的、可传递的、对称的

  • 自反性：由偏好关系的完备性可知 $x_{\text{left}} \succsim x_{\text{right}}, x_{\text{right}} \succsim x_{\text{left}}$，即 $x \sim x$

  • 可传递性：$x \sim y \Leftrightarrow x \succsim y$ 且 $y \succsim x$，$y \sim z \Leftrightarrow y \succsim z$ 且 $z \succsim y$，利用传递可知

    $$x \succsim y, y\succsim z \Rightarrow x \succsim z \\ z \succsim y, y\succsim x \Rightarrow z \succsim x$$

    即 $x \succsim z$ 且 $z \succsim x$，即 $x \sim z$

  • 对称性：$x \succsim y, y \succsim x \Leftrightarrow x \sim y$，$x \succsim y, y \succsim x$ 可以对调，则 $y \succsim x,x \succsim y \Leftrightarrow y \sim x$，即证 $x\sim y \Leftrightarrow y\sim x$

• 定理3：$x$ 强偏好于 $y$，$y$ 弱偏好于 $z$，则 $x$ 强偏好于 $z$

  • $x \succ y \Rightarrow x \succsim y$ 但 $y \succsim x$ 不成立，而 $y \succsim z$，由理性偏好关系的可传递性知 $x \succsim z$
  • 下面采用反证法，若 $z \succsim x$，再由 $y \succsim z$，知 $y \succsim x$，矛盾，即 $z \succsim x$ 不成立
  • $x \succsim z, \text{not}\ z \succsim x \Leftrightarrow x\succ z$

效用函数代表偏好关系

• 选择集的常见形式之一为商品集（commodity set），$x \in X$ 商品集，$L$ 种商品，商品集的每个元素 $x$ 是 $L \times 1$ 的向量，即 $x=(x_1, \cdots, x_L)^{'}$，$x_i>0, i = 1,\cdots,L$ 表示有消费，$x_i=0$ 表示不消费

• 用效用函数表示偏好关系的定义：¹

  $$\exists \ u(\cdot), \forall \ x,y \in X, x \succsim y \Leftrightarrow u(x) \geq u(y)$$

• 定理：如果偏好关系能找到效用函数来表示它，那么偏好关系是理性的（必要条件）

  • 证明：效用函数（选择集 $X$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的一个映射）本身具备完备性和传递性（实数的性质），再结合效用函数代表偏好关系的定义，不难发现对应的偏好关系也是完备的和可传递的

词典偏好

• 偏好关系理性，但不一定能找到效用函数代表它，如词典偏好

• 词典偏好，来源于英语词典的排序，如$(3,0) \succsim (1,2)$，$(1,0) \succsim (1,2)$

• 以 $L=2$ 为例，$x=(x_1,x_2)^{'},y=(y_1,y_2)^{'}$，下面说明词典偏好是理性的偏好关系

  • 词典偏好的完备性：$x_1>y_1$ 时，$x \succsim y$；$y_1>x_1$ 时，$y \succsim x$；$x_1=y_1$ 且 $x_2 \geq y_2$ 时，$x \succsim y$；$x_1=y_1$ 且 $y_2 \geq x_2$ 时，$y \succsim x$，得证
  • 词典偏好的可传递性：$x \succsim y \Rightarrow x_1>y_1$ 或 $x_1=y_1, x_2 \geq y_2$，$y \succsim z \Rightarrow y_1>z_1$ 或 $y_1=z_1, y_2 \geq z_2$，组合得到四种情况，均可推出 $x \succsim z$

• 但词典偏好不一定连续：词典偏好可能存在突变，如$x_n=(n/(n+1),2)^{'},y_n=(1,0)^{'}$，$\forall n, y_n \succsim x_n$，但 $n \rightarrow \infty, x_n \succsim y_n$

• 定理：如果偏好关系是理性的且连续的，那么它可以被（连续的）效用函数代表；反之，亦成立（但要求连续性）

• 效用函数不是唯一的，可经单调变换，如线性变换或者指数变换（增函数）

偏好关系与效用函数的特征联结

• 偏好关系的图示：无差异曲线，以下特征并非必要的条件，而是分析便利的工具

• 单调性

  • $\forall x,y \in X, x\geq y \Rightarrow x \succsim y \Leftrightarrow u(x) \geq u(y)$

• 凸性（效用函数拟凹）

  • $x \succsim z,y \succsim z, \forall \alpha \in [0,1],\alpha x+(1-\alpha) y \succsim z$
  • 命题：偏好满足凸性，效用函数拟凹
  • 证明：若 $x \succsim y$，而 $y \succsim y$，由偏好凸性的定义知，$\alpha x + (1-\alpha)y\succsim y$，于是 $u(\alpha x + (1-\alpha)y)\geq u(y)$，且 $u(x) \geq u(y)$，因此 $u(\alpha x + (1-\alpha)y)\geq \min\{u(x),u(y)\}$，若 $y \succsim x$ 也成立

• 可微性

  • 不一定成立，如里昂惕夫效用函数端点处不可导不可微

• 同位性（homothetic）

  • $x \sim y, \forall \alpha >0, \alpha x \sim \alpha y$，即满足一次齐次性

• 准线性（拟线性，quasilinear）

  • 完全线性是平行直线，平行曲线是准线性，即 $u(x)=x_1+\phi(x_2)$