第八讲外部性及公共品 MWG 11.A-11.C

第八讲外部性及公共品 MWG 11.A-11.C11.B.1-B11.B.2-C11.B.3-B11.B.4-B11.B.5-B

11.B.1-B

$k$ $b$ $H$ 桶。

$c$ $A$ 桶苹果（ $A=L$ ）。

$w$ $p_b$ $p_m$ 。如果对于琼斯和史密斯，每个人都试图以最小成本生产自己的最大产量（假设每个人的产品价格都使得他的最大产量是有效率的），那么由此导致的结果是有效率的吗？

$k,b,c,w,p_b,p_m$ 有什么关系？对你的答案给出直观的解释。为了诱使琼斯使用蜜蜂进行生产，史密斯至多愿意贿赂琼斯多少钱？如果这两个农场属于同一个农场主，结果是有效率的吗？政府如何以征税形式来实现有效率的产量？

$(bp_b+kw)H$ $(p_m+w)H$ 。

$bp_b+kw<p_m+w,p_m>bp_b+(k-1)w$ $p_m<bp_b+(k-1)w$ 时，琼斯不使用蜜蜂。

$(bp_b+kw)H+(A-\frac{Hb}{c})w$ $(p_m+w)H+Aw$ 。

$p_m>bp_b+(k-1-\frac{b}{c})w$ $p_m<bp_b+(k-1-\frac{b}{c})w$ 时，不使用蜜蜂是社会最优。

$p_m>bp_b+(k-1)w>bp_b+(k-1-\frac{b}{c})w$ 时，琼斯只使用蜜蜂，且为社会最优；

$p_m<bp_b+(k-1-\frac{b}{c})w<bp_b+(k-1)w$ 时，琼斯不使用蜜蜂，且为社会最优；

$bp_b+(k-1-\frac{b}{c})w<p_m<bp_b+(k-1)w$ 时，琼斯不使用蜜蜂，但不是社会最优。

$p_m$ $b/c$ $b/c$ 越大，社会无效率的可能性越大。

$\frac{Hb}{c}w$ 。

养蜂场和苹果园为一人所有时，总能使得总成本最小，不难实现社会效率。

通过向史密斯征收定额税，并补贴蜜蜂成本，让琼斯以只使用蜜蜂的方式生产。

11.B.2-C

$h$ $w_2$ $\phi_2(h,w_2)$ $\phi_2(h,w_2)$ $\partial \phi_2/\partial w_2>0$ $\partial \phi_2/\partial h>0$ 。

$h$ $T$ $\bar{u}_2$ $h$ $T$ $h^o$ $T^o$ ）的一阶条件。

\max_{h,T} \phi_1(h)+w_1-T \\ s.t.\ \phi_2(h,w_2+T) \ge \bar{u}_2

$\lambda$ 为库恩-塔克乘数，假设解为内部解，则一阶条件为

\phi_1'(h)+\lambda \frac{\partial \phi_2(h,w_2+T)}{\partial h} = 0 \\ -1+\lambda \frac{\partial \phi_2(h,w_2+T)}{\partial T} = 0

$h$ $T$ 最优值的一阶条件即

\phi_{1}^{\prime}\left(h^{0}\right)=-\frac{\partial \phi_{2}\left(h^{0}, w_{1}+T^{0}\right) / \partial h}{\partial \phi_{2}\left(h^{0}, w_{2}+T^{0}\right) / \partial w}

消费者2 $h$ $p_h$ $h(p_h,w_2)$ $h$ $\partial h(p_h,w_2)/ \partial w_2$ 。

\max_{h} \phi_2(h,w_2-p_h\cdot h)

$\phi_2$ $\phi$ ）

\frac{\partial \phi_2}{\partial h}=\phi_{1}-p_h\phi_{2}=0 \\ \frac{\partial^2 \phi_2}{\partial h \partial w_2}=\phi_{11}h_{w_2}+\phi_{12}(1-p_hh_{w_2})-p_h[\phi_{21}h_{w_2}+\phi_{22}(1-p_hh_{w_2})]=0 \\ \partial h(p_h,w_2)/ \partial w_2 = h_{w_2}=\frac{p_h\phi_{22}-\phi_{12}}{\phi_{11}-2p_h\phi_{12}+p_h^2\phi_{22}}

$p_h=\phi_1/\phi_2$ 。

$dw_2>0$ $h^o$ $\bar{u}_{2}$ $\bar{p}_{h}=\left[\partial \phi_{2}\left(h^{0}, w_{2}-T^{0}\right) / \partial H\right] /\left[\partial \phi_{2}\left(h^{0}, w_{2}-T^{0}\right) / \partial w_{2}\right]$ $w_{2}=w_{2}-T^{0}$ $\partial h\left(\bar{p}_{h}, w_{2}\right) / \partial w_{2}>0$ $w_{2}$ $h^{o}$ 将上升。(类似地，在负外部性情形下，如果消费者2对降低外部性的需求是正常商品，那么当消费者变得更富有时，外部性最优水平将下降。）

$\frac{\partial h^{0}}{\partial w_{2}}>0$ $\frac{\partial h^{0}}{\partial w_{2}}<0$ 。

11.B.3-B

考虑 11.B节讨论的两消费者之间外部性问题的最优庇古税问题。给定这个税收，如果现在两个消费者能够进行协商，将会发生什么样的结果？在这种情形下，还能得到外部性的有效率水平吗？如果采取配额方法呢？

帕累托有效率的外部性水平

\max \phi_1(h)+w_1 + \phi_2(h)+w_2 \\ \phi'_1(h^o)+\phi'_2(h^o)=0

$t^*$ 使得消费者1选择有效率的外部性水平，则

\max_{h} \phi_1(h)+w_1-th \\ t^*=\phi_1'(h^o)=-\phi_2'(h^o)

如果两个消费者可协商，则最大化两人的效用和

\max \phi_1(h)+w_1-th + \phi_2(h)+w_2 \\ \phi'_1(h)+\phi'_2(h)-t=0 \\ \phi'_1(h)=-\phi'_2(h)+t^*>-\phi'_2(h)

市场均衡与帕累托有效中的最优⾏为

$-\phi'_2(h)$ $t^*$ $h^{o'}<h^{o}$ 。

但配额的情况下，可否协商不影响结论，因为两种情况下的最优化问题相同，即配额与直接求解社会最优的结果一致。

11.B.4-B

$e \in \mathbb{R}$ $\phi_2(h,e)+w_2$ 。为了便于说

$h$ $\partial^2 \phi_2 /\partial h \partial e >0$ $e$ $h$ $e$ $e$ 征税或给予补贴吗？为什么？

$\phi_2(h,e)$ $h$ $e$ 最优反应 $e^*(h)$ 。由于消费者2将选择最优的e，而且对消费者1没有外部效应，所以没有任何理由对这个活动征税或补贴，它不是外部性。

$h$ $e$ 。

\max_{h,e} \phi_1(h)+w_1 + \phi_2(h,e)+w_2

11.B.5-B

$\bar{w}$ $c(q,h)$ $q \ge 0$ $p>0$ $h$ $\phi(h)+w$ $q$ $h$ $q$ $h$ $h$ $q$ $h(q)=aq$ $a>0$ 的情形下，政府对企业的产量征税能够达到有效率的结果。政府应该征收的税率为多少？

（a）

\max_{q,h} pq-c(q,h) \\ p-\partial c(q,h)/ \partial q|_{q^*,h^*} = 0 \\ -\partial c(q,h)/ \partial h|_{q^*,h^*} = 0

（b）

\max_{q,h} pq-c(q,h)+\phi(h)+w \\ p-\partial c(q,h)/ \partial q|_{q^o,h^o} = 0 \\ \phi'(h^o)-\partial c(q,h)/ \partial h|_{q^o,h^o} = 0

（c）

对产量征税

\max_{q,h} pq-c(q,h)-tq \\ \partial c(q,h)/ \partial h = 0

$q=q^o,h=h^o$ $\partial c(q,h)/ \partial h|_{q^o,h^o} = \phi'(h^o) > 0$ ，矛盾。

对外部性征税

\max_{q,h} pq-c(q,h)-th \\ -t-\partial c(q,h)/ \partial h = 0, t^*=-\partial c(q,h)/ \partial h|_{q=q^o,h=h_o}=\phi'(h^o)

（d）

社会最优化问题

\max_{q} pq-c(q,aq)+\phi(aq)+w \\ p-c_1(q,aq)-ac_2(q,aq)+a\phi'(aq)=0 \\ -a\phi'(aq^o)=p-c_1(q^o,aq^o)-ac_2(q^o,aq^o)

企业最优化问题

\max_{q} pq-c(q,aq)-tq \\ p-c_1-ac_2-t=0 \\ t^*=p-c_1(q^o,aq^o)-ac_2(q^o,aq^o)=-a\phi'(aq^o)=-a\phi'(h^o)