微观经济学第七次作业

邹宏威 2019100762

由题意知，社会总福利的最大化问题为

\max_{x_1,\cdots,x_I,y} U=\sum_{i=1}^{I}u_i=\sum_{i=1}^{I}ln(x_i)+I\cdot v(y) \\<br>s.t.\ y=\sum_{i=1}^{I} (w_i-x_i)=\sum_{i=1}^{I}w_i-\sum_{i=1}^{I}x_i

$W\equiv \sum_{i=1}^{I}w_i$ ，上述问题即

\max_{x_1,\cdots,x_I} U=\sum_{i=1}^{I}u_i=\sum_{i=1}^{I}ln(x_i)+I\cdot v(W-\sum_{i=1}^{I}x_i)

$I$ 个一阶必要条件为

\frac{\partial U}{\partial x_i}=\frac{\partial \sum_{i=1}^{I}u_i}{\partial x_i}=\frac{1}{x_i}-Iv'(W-\sum_{i=1}^{I}x_i)=0,\quad \forall i\in \{1,\cdots,I\}

即

x_1=\cdots=x_I=\frac{1}{Iv'(W-\sum_{i=1}^{I}x_i)}=\frac{1}{Iv'(W-Ix_1)}=\cdots=\frac{1}{Iv'(W-Ix_I)}

帕累托最优配置 $x_1^*=\cdots=x_I^*=x^*,y^*=W-Ix^*$ $x^*$ 满足如下等式

x^*=\frac{1}{Iv'(W-Ix^*)}

下面探究最优配置的存在性及唯一性，定义多元函数

f(x) \equiv \frac{1}{x}-Iv'(W-Ix)

不难发现

\partial f(x)/\partial x=-\frac{1}{x^2}+I^2v''(W-Ix)<0

$f(x)$ 单调递减，又

\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=+\infty \\<br>\lim_{x\rightarrow W/I} f(x)=-\infty

$f(x)=0$ $x^*=\frac{1}{Iv'(W-Ix^*)}$ $x^*$ 也存在且唯一，即帕累托最优配置存在且唯一。

（1）

$i$ 的效用函数为

u_i(t)=ln[(1-t)w_i]+v(t\sum_{i=1}^{I} w_i)

（2）

最优化问题为

\max_{t} u_i(t)=ln[(1-t)w_i]+v(t\sum_{i=1}^{I} w_i)

一阶条件为

\frac{\partial u_i(t)}{\partial t}=-\frac{w_i}{(1-t)w_i}+v'(t\sum_{i=1}^{I} w_i)\sum_{i=1}^{I} w_i=-\frac{1}{1-t}+v'(tW)W=0 \quad (*)

$W$ $t^*=T^*(W)$ 。

$i$ $T^*(W)$ $t^*$ 相同。

所以，所有消费者最后能达成税率均衡。

（3）

社会总福利最大化问题为

\max_t U(t)=\sum_{i=1}^{I} u_i(t)=\sum_{i=1}^{I} ln[(1-t)w_i]+Iv(tW)

一阶条件为

\partial U/\partial t=U_t=-\frac{I}{1-t}+Iv'(tW)W=0

$(*)$ 等价，即税率均衡中的公共品的均衡数量是帕累托最优的。

（1）

同第 2 题（2）理，最优化问题如下

\max_{t} u_i(t)=\sqrt{(1-t)w_i}+v(tW)

一阶条件为

\partial u_i/\partial t=-\frac{w_i}{2\sqrt{(1-t)w_i}}+v'(tW)W=-\frac{\sqrt{w_i}}{2\sqrt{1-t}}+v'(tW)W=0

$t^*=t^*(w_i)$ $w_i$ 的函数。

$\forall i\in\{1,\cdots,I\}, w_i= \bar{w}$ ，但在一般情况下，此条件无法保证。

（2）

对于低初始禀赋的消费者，一阶条件为

-\frac{\sqrt{w_L}}{2\sqrt{1-t_L}}+v'(t_LW)W=0

$t_L^*$ 即为最终的税率水平，其中

W=\frac{3}{4}Iw_L+\frac{1}{4}Iw_H

社会总福利最大化问题为

\max_t U(t)=\sum_{i=1}^{I} u_i(t)=\sum_{i=1}^{I} \sqrt{(1-t)w_i}+Iv(tW)

最优化的一阶条件为

\partial U(t)/\partial t=U_t(t)=-\sum_{i=1}^{I}\frac{\sqrt{w_i}}{2\sqrt{1-t}}+Iv'(tW)W=-\frac{3}{4}I\frac{\sqrt{w_L}}{2\sqrt{1-t}}-\frac{1}{4}I\frac{\sqrt{w_H}}{2\sqrt{1-t}}+Iv'(tW)W=0

$t=t_L^*$ 时有

v'(t_L^*W)W=\frac{\sqrt{w_L}}{2\sqrt{1-t_L^*}}

代入得

U_t(t_L^*)=\frac{1}{8}I(\frac{\sqrt{w_L}}{\sqrt{1-t_L^*}}-\frac{\sqrt{w_H}}{\sqrt{1-t_L^*}})<0

$t=t_L^*$ 的税率下，公共品的最终数量不满足帕累托最优的一阶条件。