世代交叠模型

模型设定

• 简单的OLG模型（Overlapping Generations Model），一个人只存活两期（$t=\text{Young},\text{Old}$），第一期劳动和储蓄，第二期不决策，第二期的消费取决于第一期的储蓄及其回报率，存在最初的一批老年人（initial old）

• OLG是异质性个体模型，异质性体现为年龄，但只考虑组间异质性、不考虑组内异质性

• 如果要考虑组内异质性，如来自不同家庭的禀赋（父母教育或收入或财富），研究长期的收入分配的不平等，在金融市场不完善时，家庭面临约束

• 从年轻到年老，不考虑童年等其他阶段；不存在死亡，所有人可以跨越，纳入死亡和疾病，可以分析健康人力资本；年轻人不会退出劳动力市场，老年人只存在一期；不考虑人口变化，但可以纳入 $N_{t+1}/N_{t}=1+n$，并内生化生育决策

• 效用函数 $u=(c^{1-\theta}-1)/(1-\theta)$

  $$\max_{c_t,c_{t+1},s_{t}} u(c_t)+\beta u(c_{t+1}) \\ \text{s.t.}\ c_t+s_t=w_t, c_{t+1}=(1+r_{t+1})s_t$$

  还可以写为 $C_t^Y,C_{t+1}^O,C_{Y,t},C_{O,t+1}$

• 考虑延迟退休的影响

  $$\max u(c_t)+\beta u(c_{t+1}) \\ \text{s.t.}\ c_t+s_t=w_t, c_{t+1}=(1+r_{t+1})s_t+w_{t+1}l$$

  其中 $l$ 代表延迟退休的长度，$l$ 增大可能的影响：

  • 年轻人更不愿意储蓄，即 $s_t$ 下降，企业融资成本增加，企业降低研发水平，中国长期经济增长下降（-）
  • 投资人力资本更有价值，人力资本增加，中国长期经济增长上升（+）
  • 用中国数据发现影响为倒U型，即延迟退休使长期经济增长先上升后下降

• 考虑养儿防老：代际之间的财富转移

  $$\max u(c_t)+\beta u(c_{t+1}) \\ \text{s.t.}\ c_t+s_t+a_t=w_t, c_{t+1}=(1+r)s_t+b_t+c_t$$

  其中 $b_t$ 为家庭养老，$c_t$ 为社会养老。

模型求解

• 模型求解

• 考虑遗产馈赠bequest

• 理解一阶条件

  $$u'(c_t)=\beta(1+r_{t+1})u'(c_{t+1})$$

  $t$ 期增加一单位消费的边际收益为 $u'(c_t)$，边际成本为减少 $t+1$ 期的消费 $(1+r_{t+1})u'(c_{t+1})$ 的贴现。

• 特殊的效用函数 $\ln c$

  $$\frac{1}{c_t}=\beta (1+r_{t+1})\frac{1}{c_{t+1}}$$

• 考虑赡养父母 $\phi$

  $$\max_{c_t,c_{t+1},s_{t}} u(c_t)+\beta u(c_{t+1}) \\ \text{s.t.}\ c_t+s_t=w_t(1-\phi), c_{t+1}=(1+r_{t+1})s_t$$

• 厂商的问题不变 $F(K_t,L_t)$

• 劳动力市场出清：$L_t=N_t$ 劳动需求等于年轻人数量，社会全部人口数量为 $N_t+N_{t-1}$

• 资本市场出清：$N_t s_t=K_{t+1}$

• 商品市场出清：

  • 拉姆齐模型 $C+\dot{K}+\delta K=F(K,L)$
  • OLG模型 $N_t C_t^Y+N_{t-1} C_t^O+K_{t+1}-(1-\delta)K_t=F(K_t,L_t)$

• 由关键方程 $N_t s_t=K_{t+1}$ 求解其他变量，$c_t,c_{t+1} \Rightarrow s_t \Rightarrow K_{t+1}$，即联立一阶条件和预算约束，$c_{t,t+1}$ 为 $r_t,w_t$ 的函数，$s_{t}$ 也是 $r_t,w_t$ 的函数，在拉姆齐模型中我们已经发现 $R_t,w_t$ 是 $k_t$ 的函数，最终通过关键方程得到关于 $k$ 的差分方程